极值点偏移利用对称性步骤(极值点偏移问题)
极值点偏移利用对称性步骤(极值点偏移问题)
2024-11-08 09:19:03  作者:夲宫妖  网址:https://m.xinb2b.cn/tech/nyt200212.html

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极值点偏移问题一般与函数的单调性、极值与最值问题等相结合,在高考试题中多作为解答题的压轴题出现,命题主要有两个方面:一是有关极值点与极值不等式的证明;二是极值差的取值范围求解。此类问题中所涉及的函数多为含参函数,并且以命题的形式多,难度较大,只要掌握这类问题的实质,巧妙消元、消参、构造函数,问题能迎刃而解。

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解法一:巧抓根商—c=x1/x2构造函数)

例:已知函数f(x)=lnx-ax(x>0),a为常数,若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1与x2不相等).证明:


解析:设x1>x2(养成这样习惯,它只要说不相等,我就设一个比另一个大)

因为x1,x2分别是函数的零点,所以也是对应方程的根。即:

lna1-ax1=0;lnx2-ax2=0;整理得lnx1=ax1;lnx2=ax2;

要想产生x1x2,就必须对两个对数相加,从而他们的真数相乘

lnx1 lnx2=lnx1x2=a(x1 x2);此时产生了x1x2的乘积,但关键式子还含有参数a,我们想办法再写一个式子含有a,从而把a消掉。于是我们两对数相减得:

lnx1-lnx2=lnx1/x2=a(x1-x2);对标红线的两个式子相除,就消去a得:


我们做证明题,不要只想到去证明结论,也要想到反过来,从结论出发,要想得到结论,应当是什么式子才行,这样一步一步去整,这种称为分析法,下面我们开始来做:

要证x1x2>e的平方,前面我们有对数形式,因此我们上对数,即证明


所以再即证明


成立。现在有两根之商出现了,因此令x1/x2=c(c>1),再即要证明


成立。

因为刚才x1/x2仍然有两个变量,我们把它令成了c;

所以令函数h(c)=


则导函数为h'(c)=


易得导数大于0恒成立,所以函数h(c)单调递增,

所以h(c)>h(1)=0,


在c>1的情况下恒大于0,即证


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总结:

(1)巧解消参,利用f(x1)=f(x2)=0,消掉参数a;

(2)抓商构元:令c=x1/x2,构造关于c的函数;

(3)用到求解,利用导函数求解最小值,即证结论。

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视频讲解

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