我们都知道自然数的平方和公式,利用数学归纳法也很容易证明。
连续自然数的平方和
但它是怎么推导出来的呢,恐怕很多人就不知道了。推导方法有很多,我们来看看国外某位大神的方法,居然利用三角形的重心,可谓是匠心独运。
假设平面上有1 2 …… n个小球,每个小球的质量都是1,它们均匀排列成一个倒置的等边三角形,如下图所示。为了计算方便,我们把最下方的小球放在坐标(0,1)处。
等边三角形阵列
将整个三角形阵列作为一个整体,考虑其重心位置的y坐标,有两种计算方法。
第一种方法,直接求出所有小球的y坐标的平均值,计算过程如下:
平均坐标法求重心位置
第二种方法,我们知道三角形的重心是三条中线的交点,并且这个交点把每条中线都分成了1:2的两段。
重心在高度的2/3位置
而整个三角形的高度是n-1,所以其重心的y坐标为:
利用几何定理求重心位置
两种计算方法得到的结果必然相等,于是我们得到:
自然数平方和公式推导
这个推导过程精彩绝伦,数学真是奇妙啊!