《每日一题》暑期第5期

【本期例题】

平行四边形的证明

1．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：

（1）AC⊥BD；

（2）四边形ABCD是菱形．

【分析】(1)证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；

(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形,然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．

证明：（1）∵AE∥BF，∴∠BCA =∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC =∠CAD，

∴∠BCA =∠BAC，∴△BAC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；

（2）∵△BAC是等腰三角形，∴AB = CB，∵∠CBD =∠ABD =∠BDA，

∴△ABD也是等腰三角形，∴AB = AD，∴DA = CB，∵BC∥DA，

∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．

【总结】1. 等腰三角形高线、底边中线、顶角平分线，三线重合和据此判断；

2. 菱形的证明除了可以通过平行四边形 邻边相等还可以通过证明两

等腰三角形全等得到四边相等进行证明。

【下期预告】平行四边形与动点