微积分,内容包括了微分学和积分学,在一定条件下,两者可视为逆运算。自从人类拥有了"微积分"这个强大的工具,人类文明就得到"爆炸式"进步,从此,一切实用技术的发展,都离不开这个工具,微积分得以号称"人类智慧的结晶"。
作为初等数学和高等数学的分界,微积分在大学课程中也没少折磨我们啊!今天我们就来盘点下,微积分的前世今生!
微积分
微积分的内容中,极限是基础,微积分起源于极限,微积分导致的数学危机(第二次数学危机)也源于极限。所以,我们要了解微积分的起源,得从极限说起。
早在古希腊时期,一些大哲学家就萌生了极限思想,但真正出现极限描述,最早是我们中国庄子(公元前369-公元前约280)在《庄子·杂篇·天下第三十三》中写道:"一尺之捶,日取其半,万世不竭。"可惜我们古人注重实用技术,并未重视其原理,所以并未把极限概念进行发展和研究,虽然在古代我们国家的数学在各方面领先于欧洲,但是到了近代后,却远远落后于欧洲。
格物致知
然而在西方,极限概念得到进一步发展,首先欧几里德(Euclid,公元前330-公元前275)以五大公设创立欧式几何,古代数学从此建立在几何学之上。
值得一提的是,欧洲的古代数学,由于受欧式几何的影响,其数学几乎全部依靠几何学,他们没有专门的代数学,比如为了得到这个结果t^3-u^3=(t-u)^3 3tu(t-u),是不可能使用现在初中生都能掌握的分步相乘法的,而是利用更加复杂的几何学求法:
t^3-u^3=(t-u)^3 3tu(t-u)的几何推导
利用一个大的立方体,分解成小正方体和长方体,然后建立等式。如果等式更为复杂,那么几何学就无能为力了,直到十六世纪前都是这样的。
到了欧几里德的学生阿基米德(公元前287-公元前212),就能利用极限概念,求解几何学中的非常规问题。比如球的体积,抛物线旋转体的体积,以及大多数几何图形的重心,这些技巧都是积分学的雏形。
阿基米德
阿基米德作为古代数学家的代表,绝对能在四大数学家中独占一席,他众多成果都极大促进了古代技术的发展,比如杠杆原理,浮力原理;他甚至利用割圆术把圆周率精确于3.1418。直到500年后,我们国家的数学家刘辉(225-295),才进一步把圆周率精确到3.14159。
我国古代著名数学家刘辉
然后,微积分又经历近两千年的酝酿,在等待着一个时机,也等待着一个重要工具的出现,它就是——解析几何(坐标几何),创始人就是笛卡尔(Rene Descartes,1596-1650)。
笛卡尔——我思故我在!
笛卡尔是位实实在在的革命者,基本上革了纯几何学的命,从此解析几何成为了数学明星,现在的我们难以想象,没有坐标系的数学是多么的抽象,所以笛卡尔也称之为"近代科学的始祖"。
至此,微积分诞生的一切条件都以具备:一方面极限概念经过一千多年的发展,技巧方面已经成熟,就差对其进行统一;笛卡尔坐标使得数和形结合,极大解放了纯几何学的思想束缚。
微积分创立者:牛顿和莱布尼茨
跨出最后一步的,正是牛顿和莱布尼茨,两人各自独立创立了微积分,不过他们创立的微积分还不够完善了,在定义和推理上存在瑕疵,当然牛顿的莱布尼茨的使命并非继续完善它,他们都还有更重要的事要做;他两之后,微积分经过一百多年的完善,才真正成为一门完美无瑕的学科。
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