集合的基本运算是一种逻辑和抽象的运算，类似于加减乘除混合运算，都是一种运算规则。集合的基本运算有交集和并集，全集和补集，需要掌握集合交集、并集、全集和补集的含义，并会进行集合的运算。
一、交集
知识点解析
求两个集合的交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.
二、并集
知识点解析
1.并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况:
①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用右图形象地表示.
2.求A∪B时要注意集合中元素的互异性,相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素.
例如,A={1,2,3},B={1,3,5,7},A∪B={1,2,3,5,7},
而不能写成A∪B={1,2,3,1,3,5,7}.
求两个集合交集、并集的方法技巧
当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.
已知两个有限集运算结果求参数值的方法
对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性.
已知集合运算求参数的思路
此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.
利用交集、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
三.全集
在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合.
知识点解析
全集不是固定不变的,它是一个相对概念,是依据具体问题来选择的.例如,我们在研究数集时,通常把实数集R作为全集;当我们只讨论大于0且小于5的实数时,可选{x|0<x<5}为全集.通常把给定的集合作为全集.
四.补集
知识点解析
1.补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素一定都能在全集中找到.
2.补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.
3.符号∁UA有三层意思:①A是U的一个子集,即A⊆U;②∁UA表示一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是由U中不属于A的所有元素组成的集合,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
4.若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一.
集合的补集运算与实数的减法运算有什么联系?
集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比:
求集合的补集的方法
1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.
3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题
交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况
1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错.
2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍.
由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.
用图示法解决集合的混合运算
1.两种图示法
(1)用Venn图表示集合的混合运算
右图中的A,B将全集U分成了四部分,这四部分分别用集合表示如下:
①表示A∩B;
②表示(∁UB)∩A;
③表示(∁UA)∩B;
④表示∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
(2)当集合为连续型实数集时,常常用数轴来表示集合的混合运算.
2.集合运算分配律的图形解释
设集合U为全集,A,B,C为全集U的子集,则有
(1)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);
(2)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).
这是集合运算中的分配律.
下面用图形解释:
(1)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),
利用Venn图表示为如下图所示的阴影部分.
(2)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),
利用Venn图表示为如下图所示的阴影部分.
