极限概念引入的作用(动态定义与静态定义)
极限概念引入的作用(动态定义与静态定义)
2024-11-22 04:53:12  作者:慠忾镞  网址:https://m.xinb2b.cn/tech/wbp231599.html

本文为“第三届数学文化征文比赛

极限定义新讲:动态定义与静态定义

作者:李照

作品编号:014

极限,比如说数列极限,简单讲来说的是“当n越来越大时,数列越来越靠近实数L”,是一种动态过程,而其正式定义,也称为数列极限的(ε, N)定义,却这么描述:设为数列,a为定数,若对任给的正数, 总存在正整数,使得当时有 < ,则称数列收敛于a,定数a称为数列的极限。

初学者对极限的直观印象在这种定义里几乎完全得不到反映,好多学生看后不知所言为何物,然后却又不得不马上拿着这个定义去证明各种极限,即便是最后很机械地、按部就班地凑出了该定义要求的形式,学生们对这一切还是耿耿于怀,不知道自己在干什么,究其原因是因为这个定义不够直观、不容易从中看出极限的“影子”,更具体来讲,极限最初在我们的直观认识里是一个动态概念,如本文一开始所说的那样,它是一种动态过程,但在该定义里这种动态过程并没有得到体现,所以这个定义也被称为极限的静态(static)定义,本文将提出一种更直观的数列极限的动态(dynamic)定义,然后阐明它和静态定义的关系,并提出几条教学建议。

下文将先用苏格拉底教学法(Socratic method)行文,旨在通过启发性的方式一步一步地构建出严谨的数列极限动态定义。

师:当n越来越大时,数列{}越来越靠近极限值L。这一现象用数学语言怎么描述?

生:对于数列中任意一项及其后面任意一项有。如果我们拿这个条件来以作为起点的话,那么其后必有任意一项满足,这样如果先记,,三项的下标p,q,r分别为,,,用同样的方法后续我们还可以找到,,,以至于有

这实际上是上面的约束条件的另外一种等价表述,该不等式表达了“后面的项总比前面的项更靠近极限”这个意思。

师:如果要让你的描述对常数数列的极限情况仍然适用,该怎么修改?

生:那应该改成,即:对于数列中任意一项及其后面任意一项有

师:现在让我们来看,当越来越大时,也即分母越来越大时,由于分子始终在-1到1之间,所以函数值在越来越大时越来越靠近0。


现在我们构造一数列{},每个的值均是((n-1)π, nπ)上函数值域中的任意一个,那么该数列有极限吗?如果有,极限是多少?

生:有极限,值为0。因为函数值在x越来越大时整体越来越靠近0,从各区间((n-1)π, nπ)上函数值域中任意取出来的值组成的数列也符合这一趋势,所以数列{}的极限也是0。

师:很好!那对于该数列的极限你之前的数学语言还适用吗?

生:我发现这种情形下可能会有的情况,而这里L=0,所以就不会有这个结果了,所以只有把“任意的”改成“存在”才行,即:对于数列中任意一项,其后总存在使得。

师:对,在极限过程中并非后面的项都比前面的项更靠近极限,而是存在后面的项比前面的项更靠近极限,这个例子加深了我们对极限现象的准确掌握。

生:是的,确实有了进一步的认识。

师:如果将数列{}的前10000项都换为0,那么这个数列的极限还是不是0的?

生:呃……也是,毕竟极限研究更关心的是数列足够靠后的所有项的表现,前面有限多项的值是什么我们并不关心。

师:好,认识到这点之后你刚才的数学语言仍能描述这种情况吗?

生:不能了,如果,那么的后面就找不到使得了。所以不能说也是可以任意取的了,的选取要看数列中是否存在有限个(正整数个)值为极限值的项,如果存在,那么可以要求取数列中值为极限值的最后那一项之后的任意一项,否则的话可任取。所以我的表述可以修改为:对于数列中某项之后的任意(这里的“某项”要看数列中是否存在正整数个值为L的项来定),其后总存在使得。这里因为的选取条件导致整个描述稍显啰嗦,不够简洁,所以可改成另外一种更简洁的表述:存在 满足

师:对于数列{},当n越来越大时,越来越靠近0,但是不是也越来越靠近-1呢?

生:呃……也是啊!

师:你现在的极限语言排除得了这种情况吗?

生:不能。

师:所以你现在的描述只反映出总有后面的项比前面的项更接近于L,没反映出数列{}足够靠后的所有项可以无限接近L,或者说没有限制足够靠后的所有项接近的只能是L而不是其它数。

生:是哦!那么我认为还必须要求自某一项之后的所有项和L的差值都小于预先任意指定的足够小的正数,这一要求用数学符号语言可以表述为:总有某项之后的所有满足,这里ε是足够小的正实数。

师:ε取1可以吗?

生:呃……也可以,不过1不够小,换为0.1似乎会更好点。

师:那为什么0.1可以而1就不妥呢?你判断的标准是什么?

生:我只是凭感觉觉得1似乎不能当作足够小的正实数,0.1倒是可以。

师:数学理论是不能靠着这种模糊不清的凭感觉的方式提出的,你必须给“足够小的正实数”一个明确的定义才行。

生:不妨定义任何在内的数都是“足够小的正实数”,其中是M是预先任意指定的正整数,简单起见,我们甚至可以直接取ε为,即。这样前面这个条件就应该改成:总有某项之后的所有满足,这里M是预先任意指定的正整数。

师:哈,孺子可教也!

生:承蒙老师指点!

至此,我们就得出了能完全描述数列极限现象的两个条件:

(1)总有后面的项比前面的项更接近于实数L,对应的数学语言描述是:存在 满足

(2)足够靠后的所有项可以接近实数L到任意程度,对应的数学语言描述是:总有某项之后的所有满足,此处M是预先任意指定的正整数,这里的“某项”只能通过解这个不等式来确定。

任何满足上述两个条件的实数L就称为数列{}的极限,极限的动态过程在条件(1)里得到了反映,所以我们可以把上述两个条件看作是数列极限的动态定义。

现在让我们回头再看最初对数列极限的感性认识:“当n越来越大时,数列{}越来越靠近极限值L”,这种认识反映的只是上述的条件(1)而疏漏了条件(2),由此可见这种直观认识的缺陷,作为修正,我们可以这么说:如果当n越来越大时,数列{}越来越靠近实数L,并且足够靠后的所有项可以接近实数L到任意程度,则称L是{}的极限。

再看极限的(ε, N)定义,该定义反映不出极限的动态性,它只表明对于任给的正数ε总有某项之后的所有满足,其次,为了说明数列里足够靠后的所有项可以接近极限值到任意程度,该定义用了任意指定的正数ε来限定二者间的差距,然而这是一种很松散的、模棱两可的限定,因为ε即可以往小了取也可以往大了取,自然就不能够明确反映出“数列里足够靠后的所有项可以接近极限值到任意程度”这层意思,所以在本文给出的极限动态定义中直接用取代ε,因为对于,当n越来越大时,便会越来越小,越来越靠近0,变得要多小有多小,所以笔者相信用取代ε能反映出数列里的项可以接近极限值到任意程度这层意思,请读者就此再次回顾条件(2)。

实际上有了条件(2)便自然有条件(1),证明:取满足 的一项为,如果数列中有正整数个值为L的项,那么可以要求取数列中值为L的最后那一项之后的任意一项,然后取满足的一项为,取满足的一项为,…其中均是原数列里满足本不等式的任意一项的下标,并且,显然能满足条件(1)。所以从逻辑角度来看,条件(1)不是必要的,但如果把条件(1)去掉,那么极限的“动态性”便得不到反映了。实际上把条件(2)里的换回ε便是我们既熟悉又陌生的数列极限的(ε, N)定义,也就是说去掉条件(1)之后极限的动态定义就变成了静态定义,但静态定义相比于动态定义并不能很贴切地、很直观地反映极限现象。所以虽然从逻辑角度来看条件(1)是多余的,但从认知角度来看它的存在却是大有裨益的——它反映着极限的动态性,它使得极限定义更加符合我们的直观认识,没有了它的极限静态定义会在理解上给学生带来很大的困难。所以笔者提议:(1)以本文的动态定义作为数列极限的标准定义,因为它使得极限定义更加符合我们的直观认识,进而就可以避免静态定义给学生造成的那些理解上的困难;(2)以现在教材里的(ε, N)定义作为极限值的判定方法,因为它相比极限动态定义更简洁,用来判定极限自然就比动态定义更方便;(3)如果前两条建议都得不到采纳, 那么至少应该介绍一下如何从极限动态定义走向静态定义,否则的话当前不少学生受极限静态定义之苦的局面仍然得不到解决;(4)函数极限的(ε, δ)定义也同样给学生们带来了不符合直觉的困惑,可以考虑用海涅(Eduard Heine)的极限定义来作为函数极限的正式定义(具体是:对于任何一个收敛于的数列{},且各个,如果数列{}的极限是L,那么我们说L是在处的极限),因为该定义更能反映出函数极限的动态性。(ε, δ)定义可用来作为判定极限值的方法。

注:

1,数学分析,华东师范大学数学系编,第四版,p23

2,What Is Mathematics? Second Edition, Courant and Robbins, p306

3,说它“熟悉”是因为它是教材中常用的定义,说它“陌生”是因为这个定义不那么直观,不能反映极限的“动态性”。

4,Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, p82

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