极限概念引入的作用(动态定义与静态定义)
极限概念引入的作用(动态定义与静态定义)
2024-11-08 02:08:26  作者:慠忾镞  网址:https://m.xinb2b.cn/tech/wbp231599.html

本文为“第三届数学文化征文比赛

极限定义新讲:动态定义与静态定义

作者:李照

作品编号:014

极限,比如说数列极限,简单讲来说的是“当n越来越大时,数列越来越靠近实数L”,是一种动态过程,而其正式定义,也称为数列极限的(ε, N)定义,却这么描述:设为数列,a为定数,若对任给的正数, 总存在正整数,使得当时有 < ,则称数列收敛于a,定数a称为数列的极限。

初学者对极限的直观印象在这种定义里几乎完全得不到反映,好多学生看后不知所言为何物,然后却又不得不马上拿着这个定义去证明各种极限,即便是最后很机械地、按部就班地凑出了该定义要求的形式,学生们对这一切还是耿耿于怀,不知道自己在干什么,究其原因是因为这个定义不够直观、不容易从中看出极限的“影子”,更具体来讲,极限最初在我们的直观认识里是一个动态概念,如本文一开始所说的那样,它是一种动态过程,但在该定义里这种动态过程并没有得到体现,所以这个定义也被称为极限的静态(static)定义,本文将提出一种更直观的数列极限的动态(dynamic)定义,然后阐明它和静态定义的关系,并提出几条教学建议。

下文将先用苏格拉底教学法(Socratic method)行文,旨在通过启发性的方式一步一步地构建出严谨的数列极限动态定义。

师:当n越来越大时,数列{}越来越靠近极限值L。这一现象用数学语言怎么描述?

生:对于数列中任意一项及其后面任意一项有。如果我们拿这个条件来以作为起点的话,那么其后必有任意一项满足,这样如果先记,,三项的下标p,q,r分别为,,,用同样的方法后续我们还可以找到,,,以至于有

这实际上是上面的约束条件的另外一种等价表述,该不等式表达了“后面的项总比前面的项更靠近极限”这个意思。

师:如果要让你的描述对常数数列的极限情况仍然适用,该怎么修改?

生:那应该改成,即:对于数列中任意一项及其后面任意一项有

师:现在让我们来看,当越来越大时,也即分母越来越大时,由于分子始终在-1到1之间,所以函数值在越来越大时越来越靠近0。


现在我们构造一数列{},每个的值均是((n-1)π, nπ)上函数值域中的任意一个,那么该数列有极限吗?如果有,极限是多少?

生:有极限,值为0。因为函数值在x越来越大时整体越来越靠近0,从各区间((n-1)π, nπ)上函数值域中任意取出来的值组成的数列也符合这一趋势,所以数列{}的极限也是0。

师:很好!那对于该数列的极限你之前的数学语言还适用吗?

生:我发现这种情形下可能会有的情况,而这里L=0,所以就不会有这个结果了,所以只有把“任意的”改成“存在”才行,即:对于数列中任意一项,其后总存在使得。

师:对,在极限过程中并非后面的项都比前面的项更靠近极限,而是存在后面的项比前面的项更靠近极限,这个例子加深了我们对极限现象的准确掌握。

生:是的,确实有了进一步的认识。

师:如果将数列{}的前10000项都换为0,那么这个数列的极限还是不是0的?

生:呃……也是,毕竟极限研究更关心的是数列足够靠后的所有项的表现,前面有限多项的值是什么我们并不关心。

师:好,认识到这点之后你刚才的数学语言仍能描述这种情况吗?

生:不能了,如果,那么的后面就找不到使得了。所以不能说也是可以任意取的了,的选取要看数列中是否存在有限个(正整数个)值为极限值的项,如果存在,那么可以要求取数列中值为极限值的最后那一项之后的任意一项,否则的话可任取。所以我的表述可以修改为:对于数列中某项之后的任意(这里的“某项”要看数列中是否存在正整数个值为L的项来定),其后总存在使得。这里因为的选取条件导致整个描述稍显啰嗦,不够简洁,所以可改成另外一种更简洁的表述:存在 满足

师:对于数列{},当n越来越大时,越来越靠近0,但是不是也越来越靠近-1呢?

生:呃……也是啊!

师:你现在的极限语言排除得了这种情况吗?

生:不能。

师:所以你现在的描述只反映出总有后面的项比前面的项更接近于L,没反映出数列{}足够靠后的所有项可以无限接近L,或者说没有限制足够靠后的所有项接近的只能是L而不是其它数。

生:是哦!那么我认为还必须要求自某一项之后的所有项和L的差值都小于预先任意指定的足够小的正数,这一要求用数学符号语言可以表述为:总有某项之后的所有满足,这里ε是足够小的正实数。

师:ε取1可以吗?

生:呃……也可以,不过1不够小,换为0.1似乎会更好点。

师:那为什么0.1可以而1就不妥呢?你判断的标准是什么?

生:我只是凭感觉觉得1似乎不能当作足够小的正实数,0.1倒是可以。

师:数学理论是不能靠着这种模糊不清的凭感觉的方式提出的,你必须给“足够小的正实数”一个明确的定义才行。

生:不妨定义任何在内的数都是“足够小的正实数”,其中是M是预先任意指定的正整数,简单起见,我们甚至可以直接取ε为,即。这样前面这个条件就应该改成:总有某项之后的所有满足,这里M是预先任意指定的正整数。

师:哈,孺子可教也!

生:承蒙老师指点!

至此,我们就得出了能完全描述数列极限现象的两个条件:

(1)总有后面的项比前面的项更接近于实数L,对应的数学语言描述是:存在 满足

(2)足够靠后的所有项可以接近实数L到任意程度,对应的数学语言描述是:总有某项之后的所有满足,此处M是预先任意指定的正整数,这里的“某项”只能通过解这个不等式来确定。

任何满足上述两个条件的实数L就称为数列{}的极限,极限的动态过程在条件(1)里得到了反映,所以我们可以把上述两个条件看作是数列极限的动态定义。

现在让我们回头再看最初对数列极限的感性认识:“当n越来越大时,数列{}越来越靠近极限值L”,这种认识反映的只是上述的条件(1)而疏漏了条件(2),由此可见这种直观认识的缺陷,作为修正,我们可以这么说:如果当n越来越大时,数列{}越来越靠近实数L,并且足够靠后的所有项可以接近实数L到任意程度,则称L是{}的极限。

再看极限的(ε, N)定义,该定义反映不出极限的动态性,它只表明对于任给的正数ε总有某项之后的所有满足,其次,为了说明数列里足够靠后的所有项可以接近极限值到任意程度,该定义用了任意指定的正数ε来限定二者间的差距,然而这是一种很松散的、模棱两可的限定,因为ε即可以往小了取也可以往大了取,自然就不能够明确反映出“数列里足够靠后的所有项可以接近极限值到任意程度”这层意思,所以在本文给出的极限动态定义中直接用取代ε,因为对于,当n越来越大时,便会越来越小,越来越靠近0,变得要多小有多小,所以笔者相信用取代ε能反映出数列里的项可以接近极限值到任意程度这层意思,请读者就此再次回顾条件(2)。

实际上有了条件(2)便自然有条件(1),证明:取满足 的一项为,如果数列中有正整数个值为L的项,那么可以要求取数列中值为L的最后那一项之后的任意一项,然后取满足的一项为,取满足的一项为,…其中均是原数列里满足本不等式的任意一项的下标,并且,显然能满足条件(1)。所以从逻辑角度来看,条件(1)不是必要的,但如果把条件(1)去掉,那么极限的“动态性”便得不到反映了。实际上把条件(2)里的换回ε便是我们既熟悉又陌生的数列极限的(ε, N)定义,也就是说去掉条件(1)之后极限的动态定义就变成了静态定义,但静态定义相比于动态定义并不能很贴切地、很直观地反映极限现象。所以虽然从逻辑角度来看条件(1)是多余的,但从认知角度来看它的存在却是大有裨益的——它反映着极限的动态性,它使得极限定义更加符合我们的直观认识,没有了它的极限静态定义会在理解上给学生带来很大的困难。所以笔者提议:(1)以本文的动态定义作为数列极限的标准定义,因为它使得极限定义更加符合我们的直观认识,进而就可以避免静态定义给学生造成的那些理解上的困难;(2)以现在教材里的(ε, N)定义作为极限值的判定方法,因为它相比极限动态定义更简洁,用来判定极限自然就比动态定义更方便;(3)如果前两条建议都得不到采纳, 那么至少应该介绍一下如何从极限动态定义走向静态定义,否则的话当前不少学生受极限静态定义之苦的局面仍然得不到解决;(4)函数极限的(ε, δ)定义也同样给学生们带来了不符合直觉的困惑,可以考虑用海涅(Eduard Heine)的极限定义来作为函数极限的正式定义(具体是:对于任何一个收敛于的数列{},且各个,如果数列{}的极限是L,那么我们说L是在处的极限),因为该定义更能反映出函数极限的动态性。(ε, δ)定义可用来作为判定极限值的方法。

注:

1,数学分析,华东师范大学数学系编,第四版,p23

2,What Is Mathematics? Second Edition, Courant and Robbins, p306

3,说它“熟悉”是因为它是教材中常用的定义,说它“陌生”是因为这个定义不那么直观,不能反映极限的“动态性”。

4,Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, p82

已发文章>>


  • 后压盖板和原装屏有什么区别
  • 2024-11-08后压盖板和原装屏有什么区别1、获取渠道不同后压屏通常由个人或公司回收翻新而来,因此这种屏幕可直接通过线上或线下维修店获取;全新的原装屏只会出现在官方自营的售后服务中心或官方授权的第三方维修机构中,而且这种屏幕只能通过维修的方式。
  • 南十字星大学怎么选(南十字星大学为什么这么好)
  • 2024-11-08南十字星大学为什么这么好南十字星大学(SouthernCrossUniversity)是澳大利亚的公立大学,为世界各地政府和专业机构所认可该所大学声誉卓著,教学创新,技术先进,向学生提供高质量的教育机会和一流的设备学校授课强。
  • 苹果手机价格越低质量会差吗(手机滞销疯狂降价)
  • 2024-11-08手机滞销疯狂降价九年前,iPhone4踩着诺基亚的“尸体”横空出世那时,我们都在替曾经的霸主诺基亚感到惋惜:时代抛弃你,不会跟你打招呼九年后的今天,苹果遭遇史无前例的大危机,这句话放在今天依然发人深省风云变幻,没有人。
  • 掸掸翅膀读音
  • 2024-11-08掸掸翅膀读音读音:dǎndǎnchìbǎng“掸”,普通话读音为dǎn、shàn,最早见于商朝甲骨文时代,在六书中属于形声字“掸”的基本含义为用鸡毛或布条绑成的除尘用具,如掸子、掸帚;引申含义为用掸子轻轻拂打或抽。
  • 孩子好听的小名大全三个字(孩子的小名怎么起)
  • 2024-11-08孩子的小名怎么起娱乐圈里的明星不愿意暴露孩子的真实名字,于是都会给粉丝们透露孩子的小名,不少人都觉得明星孩子的小名都有些可爱,比如“小糯米”、“小海绵”、“小花”之类的,似乎那个给孩子起贱名的时代早已经过去,“狗蛋”。
  • 心理学学习的方法(心理学的学习)
  • 2024-11-08心理学的学习有幸参加了上海市普陀区残联在2016年前后举办的心理学培训班——面向的对象,是广大社区的助残工作者上课的形式,类似于沙龙,给心理学的初学者们,营造了一个自由、宽松的学习氛围也正是这场为期半年,每周五一。
  • 全孝盛good night kiss练习室(韩星全孝盛加盟Wanted)
  • 2024-11-08韩星全孝盛加盟Wanted全孝盛【环球网综合报道】据韩联社5月25日报道,韩国女子组合Secret成员全孝盛将出演SBS电视台新水木剧《Wanted》全孝盛所属经纪公司TS娱乐25日宣布,全孝盛将饰演《Wanted》中的天才黑。
  • xboxforza7和5区别(ForzaMotorsport2023春季来到Xbox和PC)
  • 2024-11-08ForzaMotorsport2023春季来到Xbox和PC新一代的《ForzaMotorsport》赛车游戏即将在2023年春季来到Xbox主机和PC上自前代的《极限竞速7》于2017年推出至今,已经超过五年时间,在这当中原本与其交替推出的分支系列《极限竞速。
  • 颠覆你认知的100个科普小知识(逾七成学生读过科普书籍)
  • 2024-11-08逾七成学生读过科普书籍作为2022年上海科技节的重要活动,首届上海科技传播大会日前在北外滩“世界会客厅”举行如何提升科普阅读效果与品质,引人热议与深思一项涉及全国312所中小学4万多名学生的追踪调查显示,76.1%的学生在。
  • 妈妈提问孩子回答问题(一个孩子问了妈妈八个问题)
  • 2024-11-08一个孩子问了妈妈八个问题孩子的世界单纯无比又充满了奇趣因为孩子们有强烈的好奇心,所以他们总是喜欢探索这个新奇的世界当孩子们遇到他们非常好奇而又无法理解的现象和问题时,就会去问他们所信任和依赖着的父母孩子们总是觉得父母非常厉害。
  • 吴京的战狼大获成功(吴京为战狼三买19万的摩托练车)
  • 2024-11-08吴京为战狼三买19万的摩托练车战狼2相信大家都已经非常熟悉了,这部电影不仅是吴京投资,而且是吴京主演的,吴京为了战狼2也是付出了很多,当时他把自己家的房子都抵押出去了,就是为了完成一部像样的国产电影,为了国产电影可以在国际舞台上留。