虽然在初中数学新课程标准下,四点共圆不再做要求,但是我们在解题的过程中如果灵活的运用四点共圆的性质,可以使复杂的题目变得简单易解。况且在高中阶段,高中老师会默认你在初中已经学会了这个知识,遇到了不会再进行过多讲解,所以无论从哪方面讲,我们都应该掌握好四点共圆的性质。
数学接龙
一、圆的内接四边形的性质:
如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为"四点共圆"。
1)圆内接四边形的对角互补:∠BAD ∠DCB=180°,∠ABC ∠ADC=180°;
2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠CBE=∠ADC;
3)圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍:∠AOB=2∠ACB=2∠ADB;
4)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等,即同弧所对的圆周角相等;
5)圆内接四边形对应三角形相似:△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)
6)相交弦定理:AP×CP=BP×DP(例5)
四点共圆
而利用圆的内接四边形解题,又分为两种情形:一是直接利用圆的内接四边形的性质解题;二是构造共圆,然后再利用圆的的知识和性质解题。
二、直接利用圆的内接四边形的性质解题
例1、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于( )
A.69° B.42° C.48° D.38°
答案:选A (圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角)
例2、(·凉山中考)如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中,且∠C=2∠A,则BD=________.
例3、如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=( )
解:∵四边形ABCD与四边形ACDE是圆的两个内接四边形
∴∠B ∠ADC = 180°
∠E ∠ACD = 180°(圆内接四边形的对角互补)
∠B ∠E ∠ADC ∠ACD = 360°
而在△ACD中,∠ADC ∠CDA ∠ACD = 180°
∴∠ADC ∠ACD = 180°-35°= 145°
∴ ∠B+∠E=360°-145°=215°
例4、(2019·台州)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE.若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为 .
解:∵∠ABC=64°
∴∠ADC=116° (圆内接四边形的对角互补)
又点D关于AC的对称点E在边BC上
∴∠AEC=116°
∴∠BAE = ∠AEC -∠ABC = 116°-64°=52°
例5、ABCD为圆的内接四边形,且其对角线AC与BD相交于点P,请证明相交弦定理:AP×CP=BP×DP
证明:∵共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等
∴AB边所对的∠BCA = ∠BDA
同理CD边所对的∠CBD = ∠CAD
∴△BCP ∽△ADP
∴AP×CP=BP×DP
三、构造共圆,然后再利用圆的的知识和性质解题
例6、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF
证明:作 GH⊥AB,连接 EO.
∵EF⊥AB,EG⊥CO,
∴∠EFO=∠EGO=90°,
∴G、O、F、E 四点共圆, (四边形的对角互补,那么四点共圆)
所以∠GFH=∠OEG, (共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等)
又∵∠GHF=∠EGO,
∴△GHF∽△OGE,
∵CD⊥AB,GH⊥AB,
∵GH∥CD,
∴EO/GF=GO/GH=CO/CD
又∵CO=EO,
∴CD=GF.
例7、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
求证:∠PAB=∠PCB.
证明:作过 P 点平行于 AD 的直线,并选一点 E,使 PE=AD=BC,
∵AD∥EP,AD∥BC.
∴四边形 AEPD 是平行四边形,四边形 PEBC 是平行四边形,
∴AE∥DP,BE∥PC,
∴∠ABP=∠ADP=∠AEP,
∴AEBP 共圆(一边所对两角相等).
∴∠BAP=∠BEP=∠BCP,
∴∠PAB=∠PCB
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