中考数学四点共圆用法(用四点共圆的性质可以使复杂的题目变得简单易解)
中考数学四点共圆用法(用四点共圆的性质可以使复杂的题目变得简单易解)
2024-11-05 09:53:09  作者:轉甪己陌玍  网址:https://m.xinb2b.cn/tech/tye202008.html

虽然在初中数学新课程标准下,四点共圆不再做要求,但是我们在解题的过程中如果灵活的运用四点共圆的性质,可以使复杂的题目变得简单易解。况且在高中阶段,高中老师会默认你在初中已经学会了这个知识,遇到了不会再进行过多讲解,所以无论从哪方面讲,我们都应该掌握好四点共圆的性质。


数学接龙

一、圆的内接四边形的性质:

如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为"四点共圆"。

1)圆内接四边形的对角互补:∠BAD ∠DCB=180°,∠ABC ∠ADC=180°;

2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠CBE=∠ADC;

3)圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍:∠AOB=2∠ACB=2∠ADB;

4)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等,即同弧所对的圆周角相等;

5)圆内接四边形对应三角形相似:△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)

6)相交弦定理:AP×CP=BP×DP(例5


四点共圆

而利用圆的内接四边形解题,又分为两种情形:一是直接利用圆的内接四边形的性质解题;二是构造共圆,然后再利用圆的的知识和性质解题。

二、直接利用圆的内接四边形的性质解题

例1、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于(  )

A.69° B.42° C.48° D.38°


答案:选A (圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角

例2、(·凉山中考)如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中,且∠C=2∠A,则BD=________.



例3、如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=( )


解:∵四边形ABCD与四边形ACDE是圆的两个内接四边形

∴∠B ∠ADC = 180°

∠E ∠ACD = 180°(圆内接四边形的对角互补

∠B ∠E ∠ADC ∠ACD = 360°

而在△ACD中,∠ADC ∠CDA ∠ACD = 180°

∴∠ADC ∠ACD = 180°-35°= 145°

∴ ∠B+∠E=360°-145°=215°

例4、(2019·台州)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE.若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为


解:∵∠ABC=64°

∴∠ADC=116° (圆内接四边形的对角互补

又点D关于AC的对称点E在边BC

∴∠AEC=116°

∴∠BAE = AEC -ABC = 116°-64°=52°

例5、ABCD为圆的内接四边形,且其对角线AC与BD相交于点P,请证明相交弦定理:AP×CP=BP×DP


证明:∵共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等

∴AB边所对的∠BCA = ∠BDA

同理CD边所对的∠CBD = ∠CAD

∴△BCP ∽△ADP

∴AP×CP=BP×DP

三、构造共圆,然后再利用圆的的知识和性质解题

例6、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF


证明:作 GH⊥AB,连接 EO.

∵EF⊥AB,EG⊥CO,

∴∠EFO=∠EGO=90°,

∴G、O、F、E 四点共圆, (四边形的对角互补,那么四点共圆

所以∠GFH=∠OEG, (共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等

又∵∠GHF=∠EGO,

∴△GHF∽△OGE,

∵CD⊥AB,GH⊥AB,

∵GH∥CD,

∴EO/GF=GO/GH=CO/CD

又∵CO=EO,

∴CD=GF.


例7、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点,且∠PBA=∠PDA.

求证:∠PAB=∠PCB.


证明:作过 P 点平行于 AD 的直线,并选一点 E,使 PE=AD=BC,

∵AD∥EP,AD∥BC.

∴四边形 AEPD 是平行四边形,四边形 PEBC 是平行四边形,

∴AE∥DP,BE∥PC,

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP,

∴AEBP 共圆(一边所对两角相等).

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP,

∴∠PAB=∠PCB


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