女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

密铺图案主宰着我们的视觉和物质世界。西里尔·斯坦利·史密斯（Cyril Stanley Smith）在他工作的各个方面都对这一点非常敏感。作为消遣，他重现了1704年的特鲁谢密铺，并增加了它们的丰富和多样性。

1.引言

西里尔·斯坦利·史密斯（Cyril Stanley Smith）非常博学多才。他是20世纪最有创造力的冶金学家，还是一位杰出的科技史学家。科学的美学方面以及艺术和科学之间的关系引起了他极大的兴趣[1]。正是出于后一种兴趣，他重现了1704年塞巴斯蒂安·特鲁谢(Sebastian Truchet)关于密铺图案的一部不同凡响的著作，并看到了特鲁谢思想的一些更深层次的含义。

2塞巴斯蒂安·特鲁谢和他的密铺

塞巴斯蒂安·特鲁谢(Sebastian Truchet)是一位加尔默罗会牧师，顺便说一句，他也是用来指示字体大小的“磅因制”的发明者——现在所有的PC用户都很熟悉了！

他通过组合操作四个字母的代码来产生无限种类的密铺设计的方法，对于编码视觉模式的想法来说是一个令人惊讶的早期开端(见[2])。

特鲁谢的想法很简单，但其暗示和隐藏的可能性是巨大的。特鲁谢拼块是一种带有简单的对角线双色装饰的方形拼块（图1）。在用特鲁谢拼块铺设的平面中，每块拼块可以有4个可能的方向上，可以称为A、B、C和D。例如，图2显示了四个单元格的图案编码为

BDCA...

DBAC...

ACDB...

CABD...

图1(左)：特鲁谢拼块。

图2(右)：4个单元构成的一个简单的特鲁谢密铺图案。

特鲁谢的书中包含各种各样的例子。这个有代表性的例子就足够了，通过搜索引擎可以看到更多例子。

周期性特鲁谢密铺图案的可能对称性可以是17个 "墙纸群"（即那些没有3重或6重对称性的图案）中的12个之一。组合学中一个有趣的练习是列举和分类具有给定对称性和每单元格给定密铺数的特鲁谢图案。显然，图案的2重和4重对称性、反射和滑移对称性对应于其生成代码的组合特性。特鲁谢图案也可能表现出“双色”对称性，当图案的黑色和白色区域是一致的，如图2。

特鲁谢的工作出现在著名数学家如费马、莱布尼茨和帕斯卡发展概率论以及排列和组合的相关数学的时候，可以被视为这种时代精神的一种表现。列奥纳多·西里尔·斯坦利·史密斯在他的文章《史密斯对于特鲁谢密铺的应用》中这样说:“特鲁谢的论文相当重要，因为它本质上是对组合学的图形化处理，在帕斯卡、费马和莱布尼茨的影响下，组合学在当时处于数学的前沿。特鲁谢说，他是在奥尔良附近的一个城堡里看到一处公寓的瓷砖时想到这个主意的。”

Douat进一步发展了特鲁谢的组合观点，他的书于1722年出版，向更广泛的读者介绍了这个观点。艺术史学家E·H·贡布里希重新发现了这本晦涩难懂的书，并在《秩序感》中复制了它的一些页面[4]。

对称性：除了平移之外，非周期性图案可以具有2、3、4、6重的对称性，这意味着当图案围绕一个点分别旋转180°、120°、90°或60°时，图案是不变的。

它也可能有反射对称或滑移对称。滑移是直线上的反射，然后是直线方向上的平移。

“很少有地方能比密铺图案的制作和分析更紧密地结合艺术家和科学家的方法了。”

——C·S·史密斯

3.主题的变化

在莱昂纳多·西里尔·斯坦利·史密斯的文章中，他介绍了基本的特鲁谢拼块的两种选择。通过省略黑色和白色着色并仅保留对角线，给出了只有两个可能方向的拼块，而不是四个；产生的图案可以用二进制表示法编码。最终的图案有一个有趣的“迷宫般”的外观(图3)。虽然特鲁谢和Douat只考虑周期模式，但Smith的兴趣在于扩展该方法以说明分层结构的原理，这可以通过应用于二进制编码的迭代规则来生成。史密斯介绍的特鲁谢拼块的另一个变体是由两个圆弧装饰的。这种拼块也只有两种可能的方向，并产生具有奇怪的弯曲结构的图案(图4)。

图3：史密斯的特鲁谢密铺图案的变体之一。这种类型的模式可以通过二进制编码来指定。

图4：史密斯的另一个变体。

Pickover [5]考虑了随机构造。图5显示了这种随机图案的一部分，它是由史密斯的特鲁谢拼块的变体构建的。用这种拼块建造的图案的一个特点是弯曲的线条将平面分成两个区域；图中的灰色阴影强调了这一点。通过这种方式，二进制序列被转换成视觉图案，可以揭示混沌行为的有趣方面。观察图案中出现的小圆圈。Pickover推断，如果图块方向确实是随机的，则圆圈的数量除以图块的数量应该约为0.054。类似地，“哑铃”(两个结合的圆圈)的分数为0.0125。随机图案更复杂的统计方面也是可以计算的。Pickover建议使用特鲁谢密铺来建议测试真正的随机行为，以及识别混沌系统中与随机性的细微偏差。

图5：由图4所示拼块的随机密铺的外观。

特鲁谢拼块的一个有趣的修改是图6中左侧的60°菱形。这允许具有三重和六重对称性的无限种类的密铺图案。在使用这些菱形拼块的平面密铺中，各个拼块可以出现在6个不同的方向上。图6的右边是一组6个拼块，说明了将产生准周期图案的膨胀规则(彭罗斯瓷砖上下文中的膨胀概念由Grunbaum和Shephard详细描述[6])。图7显示了四次迭代后获得的密铺。

图6：一块装饰过的菱形瓷砖和一个用于生成非周期图案的“膨胀规则”。

图7：膨胀规则的4次迭代所产生的密铺的外观。

周期性图案：覆盖平面的图案可以是周期性的，也可以是非周期性的。双周期图案具有单位单元(即拼块)，该单位单元通过平移在两个方向上重复，而不改变取向，以产生整个图案。周期图案可能具有除平移之外的其他对称性。平面上的双周期图案可以根据它们的对称性进行分类，只有17种，这17组对称被称为“墙纸群”。彭罗斯密铺是非周期性的。

4.三维生成

一个自然而然浮现在脑海中的问题是：是否存在与特鲁谢密铺类似的三维模型？我们给出了两个“3D特鲁谢图案”的例子。观察图8中框中的形状——以4种可能的方向显示——与框的每一面以一对弧形相接，就像Smith的特鲁谢拼块变体上的装饰一样。我们通过用这些“拼块”来铺砌三维空间，从而获得了无限种类的表面。然而，自然的限制出现了，在二维情况下没有类似的限制，在二维情况下，拼块可以完全任意地定向。由于两个连续长方体中的曲面片必须在界面上匹配，因此一对连续的拼块之间实际上只有两种可能的方向关系：它们通过平移或共同面上的反射相关。此外，如果两个相邻的拼块在其公共平面上通过反射联系在一起，则该平面一定是在该平面中具有其公共面的所有拼块对的反射平面。这种3D特鲁谢密铺的一部分示例如图9所示。

图8：特鲁谢拼块的三维生成的4种可能方向。

图9：用图8所示的拼块密铺三维空间产生的表面。

基本拼块中的曲面拼块具有模块化单元的形状，形成最小曲面单元的八分之一，称为“舍恩的蝙蝠翼”(见[7]和肯·布拉克的website[8])。相邻的单元通过它们共同的面的反射而处处相关。对于布拉克命名的最小曲面“伪蝙蝠翼”，一个类似的模块是整个单元——所有模块都有相同的方向。非常值得注意的是，对于这两个完全不同的空间群对称性的不同极小曲面，模曲面片的形状差异是难以察觉的。图9是由艾伦·麦凯制作的，他首先意识到“蝙蝠翼”模块可以被视为一个3D 特鲁谢密铺，从而表明了基于3D 特鲁谢密铺原理的无限数量的可能最小表面的可能性。

特鲁谢的想法对描述三维结构的另一个可能的概括是它对描述和分类三维编织模式的应用。3D编织最近在复合材料制造中变得越来越重要，其中嵌入基质中的纤维构成了材料的增强。2D编织图案有两个正交的线方向(经线和纬线)。三维类似物可以由包含三个正交螺纹部分的模块化单元构成(图10)。德克·范·斯文伯格研究了三维编织图案的可能性，有三个正交的线方向，条件是每个二维层都是简单的2D下-上-下-上编织(一种“垫子”)。他拥有这些3D编织方法的专利权。像图10这样的连续单元可以通过围绕立方体面中的轴旋转、通过螺旋变换、通过滑移、反射等来关联。然而，最终图案应由简单的2D垫堆叠而成的要求，在所有三个方向上都有严格的限制。事实上，相邻的立方体只能通过在它们的公共面上的反转或者通过2倍螺旋变换(在范·斯文伯格的符号中分别是0和1)来关联。根据列出沿三个正交方向应用的变换类型的三字母符号，根据基本模块是图10所示的模块还是其镜像，我们得到存在于右手形式IIIR或左手形式IIIL中的四种编织图案OOO、OOI、OII和III (III)。)图11显示了OOO的一个单元(其中的线具有正弦形式，图12显示了IIIR的立体图像，其中所有的线都是右旋螺旋。

图10：生成三维编织图案的基本三维拼块。

图11：通过堆叠图10中的立方体拼块获得的一种三维编织，这样相邻的拼块通过倒置相互关联。

5.结论

高速计算机的出现改变了科学家对材料结构的看法。计算机时代不仅打开了解决以前难以解决的问题的可能性——新的、迄今没有想到的问题领域也被打开了。将二维或三维的图案或结构编码为一串字母数字符号，并根据其抽象代码--“无机基因”--重建对图案或结构的模拟，是这种观点变化的一个重要实例，这可能会变得越来越重要，特别是在材料科学中。特鲁谢的想法虽然简单，但却非常有先见之明；西里尔·斯坦利·史密斯认识到了它的潜力，这是他的功劳。我们希望，我们在这里提出的对特鲁谢的观点作进一步概括的可能性，可能会启发进一步的探索。

图12：三维编织的立体图像对，其中的基本密铺通过螺旋变换联系在一起。

参考文献

[1] CS Smith, Search for Structure: Selected Essays in Science, Art and History, MIT Press, Cambridge MA, 1981

[2] S Truchet, Memoir sur les combinaisons, Memoires de l'Academie Royale des Sciences, pp.363- 72, 1704.

[3] C S Smith, The tiling patterns of Sebastien Truchet and the topology of structural hierarchy, Leonardo, Vol.20, pp.373-385, 1987.

[4] E H Gombrich, The Sense of Order, Cornell Univ. Press, pp.70-72,1979.

[5] C A Pickover, Computers, Pattern, Chaos and Beauty, St. Martin's Press, New York, pp.329-332,1993.

[6] B Griinbaum and G C Shephard, Tilings and Patterns, W H Freeman, 1987.

[7] E A Lord and A L Mackay, Periodic minimal surfaces of cubic symmetry, Curr. Sci., V01.85, pp.346-62, 2003.

[8] Ken Brakke, http://www. susqu.edu/brakke/

[9] E A Lord and S Ranganathan, Truchet Tilings and their Generalisations

青山不改，绿水长流，在下告退。

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