太多似是而非的类比反而容易把思维引入漩涡。弯曲时空这个概念并不难。所以像物理学家一样正经的理解就行了。

首先，你要记住这个重要的原则：弯曲空间不需要借助更高维度空间来理解。

什么意思呢？你现在想象一个球面吧。

球面呢就是一个二维的弯曲空间。等等，现在你在脑子里面想像的一定是一个三维球体的表面对不对？

敲脑袋，不准这样想。弯曲空间不需要借助更高维度的空间来理解。 你要把你的想象力限制在二维空间里面。你现在就是一只渺小的爬在巨大球面上的蚂蚁。球面特别巨大，你又不能飞到球面以外去。所以你看到的二维球面和二维平面好像也没有什么区别。

怎么办呢？

办法是有的，球面在一个小局部看起来几乎和平面一样，但整体的几何性质还是很不一样的。你可以做一只哥伦布。沿直线走，如果回到起点，那么你可以宣布，这个二维空间是弯曲的！

但这个办法很笨，你需要绕整整一圈，球面这么大万一路上累死了怎么办？所以下面我讲一个更巧妙的办法。

你先在地面上画一根线段。然后走一步，再画一根跟它平行的线段。再走一步，再画一根跟之前的线段平行的线段，以此类推，就这样一边画一边走。同时你可以随便选一条闭合的路线绕回原点。这时候比较最后画出来的那根线段和最初那根线段。（我们假设你是一只很细致的蚂蚁，画平行线的精度是完美的。）那，如果我们的二维空间是一个平面的话，最后那根线段一定和最初那根线段也是平行的。这很好理解。

但如果空间不是平面的话，两根线段就可能会出现夹角，并且夹角跟你选择的路线有关系。（比如你从北极出发走到赤道，再沿着赤道走四分之一圆周，再走回北极，保证每一根线段都画在球面上并且在球面上完美平行。这时候最后和最初的两会出现九十度的夹角。）

这是一个令人费解的结论。违背了我们关于普通平直空间的几何直觉：任意相邻的两条线在这个空间里都是平行的。但是绕一圈回来后首尾就不平行了。说明这个空间有问题呀！它弯掉了。

我们把上面的东西整理一下：一个矢量绕弯曲空间平行移动一个闭合路径时，它的方向是有可能改变的。而且改变值跟具体的路径相关。

其实不光是方向，在某些弯曲空间中，矢量的长度也会改变。我们说 一个矢量绕弯曲空间平行移动一个闭合路径时，它的方向和长度是有可能改变的。改变值跟具体的路径相关。

关键点来了！

矢量的长度改变是什么意思？

首先所谓长度由两部分构成：值和度规

比如一根线段长“2米”。“2”叫做这个长度的值，“米”叫做这个长度的度规。

一根线段长“2米”的意思就是：把“米”作为一个标准的单位长度，那么这根线段有两个标准长度这么长。

矢量长度改变的意思就是：原来2米的线段，现在变成3米了。

这里面包含两种可能：

1，线段真的变成三米了。

2，“米”的标准变了，或者说，度规变了。

记住，这里有问题的主要是空间。这里长度改变的原因是第二个原因，度规在变。或者说，度规在弯曲空间中的各个点是不一样的。

现在我们可以理解矢量平移出来夹角的悖论了。

蚂蚁同学在一个弯曲空间里面小心地平移一根线段。你测到相邻两点间的线段总是长度方向都一样的。它很满意~

但注意了，由于空间是弯曲的。这里相邻两点的度规并不完全一样。它们有一个差值，这个差值叫做联络。所以虽然你测到两点的线段是平行的，但是由于两点的度规已经不同了，所以你画的两个线段事实上已经不太一样了。但由于相邻两点的度规差值，也就是联络，很小，你并不能立即发现。

但是你一直走啊走啊平移啊平移。度规的差值在你画的线段上一点一点累加。终于，当你回到原点的时候，你发现你画的棒子跟最开始的时候已经完全不一样了。这一整圈累加的差值也有个名字，叫做曲率。

好了~感谢你自己的耐心吧。所以东西都讲完了，现在是收获的时候。

所谓平直空间就是：度规在空间各个点都一样的空间。

所谓弯曲空间就是：度规在空间各个点不一样的空间。

感谢你把想象力限制在二维吧，现在你理解三维弯曲空间也完全没有问题了。

所谓三维弯曲空间就是：度规在三维空间各个点不一样的空间。

更近一步

所谓弯曲时空就是：度规在四维时空各个点不一样的空间。（四维时空也可以定义类似于长度的东西）

更近一步，甚至可以大致知道广义相对论在说什么了。

所谓广义相对论就是说：质量和动量(及其他们的流动)可以造成时空的度规在各个点你不一样，可以把时空变弯。

作为广相核心的爱因斯坦场方程：

等号右边是表示质量动量的项，等号左边是表示时空曲率的项。完美！

时空变弯之后时空中的地球啊月亮啊会沿着弯曲的时空运动啦。

愚蠢的二维蚂蚁看不到二维空间的弯曲，它画着线，咦？方向变了？ 愚蠢的三维人类看不到时空弯曲，咦？有引力？