初三数学圆的经典例题及解析(圆知识的第二部分及例题详解)
初三数学圆的经典例题及解析(圆知识的第二部分及例题详解)
2024-11-25 10:56:55  作者:永逺對你說  网址:https://m.xinb2b.cn/tech/qdb422792.html


圆的第二部分的主要内容有

/.点与圆的位置关系.如图

(1)点在圆外<=>d>r,如点A.

(2)点在圆上<=>d=r,如点B.

(3)点在圆内<=>d<r,如点C.


(d为点到圆心的距离,r为圆O的半径).

平面内,不在同一直线上的三个点确定一个圓.

■经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫这个三角形的外心.这个三角形叫这个圓的内接三角形,三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.

2.直线与圆的位置关系.

(1)直线和圆相交<=>d<r,有两个公共点;


(2)直线和圆相切<=>d=r有且只有一个公共点


(3)直线和圆相离<=>d>r,没有公共点


切线的判定定理:

经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

■切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

■切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圓心和这个点的连线平分两条切线的夹角.

■和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,内切圆的圆心叫三角形的内心,这个三角形叫圓的外切三角形.三角形的内心是三个内角平分线的交点,内心到三边的距离相等

■证明直线与圆相切,一般有两种情况:①已知直线与圆有公共点,这时连接圆心与公共点的半径,证明该半径与已知直线垂直.即连半径,证垂直.②不知直线与圆有公共点,这时过圓心作与已知直线垂直的线段,证明此垂线段的长与半径相等.即作垂直,证半径.

■圆与圆的位置关系的内容,现在教学为选学内容,不再陈述.

这部分内容以直线与圆相切最为重要,它不仅沟通了几何图形中的数量关系、线的位置关系和线段间的等量关系,还常与勾股定理联系起来,派生出很多重要的结论,为中考的开放性、探究性考题提供了素材.

【题目呈现】

1.如图,已知⊙O是以坐标原点O为圆心,1为半径的圆,∠AOB=45°,点P在x轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设P(x,0),则x的取值范围是_______


【分析】左右平移OA,当平移线与⊙O相切时正好与⊙O只有一个公共点,如图


设此时与x轴上的一个交点为P1,连接O与切点C,可知△OCP1为等腰直角三角形,∠OCP1=90°,而OC=1,∴OP1=√2,∴x的取值范围:一√2≤x≤√2.

2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,则DM的长为(____)

A.13/3,B.9/2,C.4√13/3,D.2√5


【分析】要求DM的长,看图应考虑Rt△DCM,用勾股定理,DC=AB=4,再看⊙O与AD,AB,BC分别相切,与DM相切于点N,由切线长定理知,AE=AF,BG=BF,GM=MN,DE=DN,而OE⊥AD,OF⊥AB,OG⊥BC,且OE=OF=OG,∴AE=AF=BF=BG=2,则ED=DN=3=CG,于是设GM=x,则DM=3十x,MC=3一x,∴在Rt△DCM中,可得4² (3一x)²=(3 x)²,解得x=4/3,∴DM=13/3,选A.

3.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2√2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为______.


【分析】此题,给定了两个角度,一条看似与EF无关的边,在圆中,我们就要连OE,OF,则∠EOF=120°,这样出现了一个120°的等腰三角形,则EF=√3OE,看来欲使EF最小,则须半径或直径最小,即AD最小,当AD⊥BC时AD最小(垂线段最短),而AB=2√2,∴AD=2,则OE=1,∴EF长度的最小值为√3.【注,圆中最值问题常用到直径】


4.如图,已知等边△ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.

(1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

(2)过点F作FH⊥BC,垂足为点H.若等边△ABC的边长为4,求FH的长.


【分析】第一问应该是相切关系,由于D是圆上的点,所以连半径,证垂直,如图


连接OD,由于△ABC是等边三角形,∠A=∠B=∠C=60°,而OD=OB,∴△BDO也是等边三角形,∴∠BDO=60°,又DF⊥AC,∠DFA=90°,∴∠ADF=30°,∴∠ODF=90°,即OD⊥DF,∴DF与⊙O相切.

第二问,由于BD=BO=BC/2=AB/2=1/2×4=2,∴AD=2,∴AF=1,CF=3,在Rt△FHC中,∠C=60°,FH=3√3/2.

5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.

(1)求证:AC是⊙D的切线;

(2)求证:AB EB=AC


【分析】此题AC与⊙D无公共点,所以过D作AC的垂线DF,垂足为F,即作垂直,证半径,如图


由于AD平分∠BAC,又∠B=90°,∴DF=BD,∴AC是⊙D的切线.又可知此时AB=AF,为第2问提供了依据,只须证CF=EB,由于DE=DC,BD=DF,∴Rt△EBD≌Rt△CFD,∴EB=CF,∴问题得证.

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