已知抛物线y=﹣x2 2mx﹣m2 2的顶点A在第一象限,过点A作AB⊥y轴于点B,C是线段AB上一点(不与点A、B重合),过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P.
(1)若点C(1,a)是线段AB的中点,求点P的坐标;
(2)若直线AP交y轴的正半轴于点E,且AC=CP,求△OEP的面积S的取值范围.
解:(1)依题意得顶点A的坐标为(2,a),
设P(1,n)据x=﹣b/2a,得A点的横坐标为m,即m=2,
所以y=x2 4x﹣2,把P点的坐标代入得n=1,
即P点的坐标为(1,1)
(2)把抛物线化为顶点式:y=﹣(x﹣m)2 2,
可知A(m,2),设C(n,2),
把n代入y=﹣(x﹣m)2 2得y=﹣(n﹣m)2 2,
所以P(n,﹣(n﹣m)2 2)
∵AC=CP
∴m﹣n=2 (m﹣n)2﹣2,
即m﹣n=(m﹣n)2,
∴m﹣n=0或m﹣n=1,
又∵C点不与端点A、B重合
考点分析:
二次函数综合题。
题干分析:
(1)根据题意得顶点A的坐标为(2,a),然后设P(1,n)代入x=﹣b/2a,得A点的横坐标为m,求得函数的解析式,把P点的坐标代入得n=1,从而求得函数的解析式;
(2)把抛物线化为顶点式:y=﹣(x﹣m)2 2,求得其顶点坐标,设C(n,2),然后表示出P(n,﹣(n﹣m)2 2)根据AC=CP求得m﹣n的值,然后表示出OB、OE的值从而表示出△OPE的面积,进而求得面积的取值范围。
解题反思:
本题考查了二次函数的应用,解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标,并利用题目的已知条件得到有关的方程或不等式,从而求得未知数的值或取值范围。