1、函数在一点连续,则lim(x->a)f(x)=f(a)或f(a-0)=f(a)=f(a 0)
即:函数若在一点连续,则在该点的极限值与函数值相等。
左连续:f(a-0)=f(a)
右连续:f(a 0)=f(a)
例1: {(e^(ax)-1)/ln(1 x) x>0
f(x)={2 x=0
{b/(1 x^2) x<0
f(x)在x=0处连续,求a,b。
f(0-0)
=lim(x->0^ )f(x)
=lim(x->0^ )[(e^(ax)-1)/ln(1 x)]
=[lim(x->0^ )(e^(ax)-1)]/[lim(x->0^ )ln(1 x)]
(上一节说道,(e^Δ-1)~Δ (Δ->0),x~ln(1 x) (x->0))
=lim(x->0^ )(ax)/lim(x->0^ )(x)
=lim(x->0^ )(a)
=a
f(0)=2
f(0 0)
=lim(x->0^-)f(x)
=lim(x->0^-)(b)/lim(x->0^-)(1 x^2)
=b
∵ f(x)在x=0处连续
∴ f(0-0)=f(0)=f(0 0)
∴ a=b=2
2、设f(x)在闭区间[a,b]内有定义,且
(1)f(x)在[a,b]内处出连续
(2)f(a)=f(a 0), f(b)=f(b-0)
称f(x)在[a,b]连续,记为:f(x)∈c[a,b]
二、间断点1、间断:if lim(x->a)f(x)≠f(a),称f(x)在x=a间断
也就是说,某点极限存在,但极限不等于该店函数值。
2、间断点分类
(1)第一类间断点:f(a-0),f(a 0)都存在
1)可去间断点:f(a-0)=f(a 0)≠f(a)
2)跳跃间断点:f(a-0)≠f(a 0)
(2)第二类间断点:f(a-0)和f(a 0)至少有一个不存在
即:极限值不存在的为第二类间断点
例2:f(x)=(x^2-3x 2)/(x^2-1)求f(x)间断点及分类
x=±1为间断点
(1)x=1时
lim(x->1)f(x)
=lim(x->1)(x-2)/(x 1)=-1/2,极限存在但是函数值f(1)不存在,为可去间断点
(2)x=-1时
lim(x->-1)f(x)
=lim(x->-1)(x-2)/(x 1)=∞,极限不存在,为第二类间断点
Notes:a>1时
lim(x->-∞)(a^x)=0 lim(x-> ∞)(a^x)=∞
lim(x->0^ )(e^(1/x))=0lim(x->0^-)(e^(1/x))= ∞