一般地,对于函数f (x),如果存在一个常数T(T≠0),使得当x取定义域D内的任意值时,都有f (x T)=f (x)成立,那么函数f (x)叫做周期函数,常数T叫做函数f (x)的周期.对于一个周期函数f (x)来说,如果在所有的周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做函数f (x)的最小正周期,接下来我们就来聊聊关于周期函数的定义与意义?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!
周期函数的定义与意义
一般地,对于函数f (x),如果存在一个常数T(T≠0),使得当x取定义域D内的任意值时,都有f (x T)=f (x)成立,那么函数f (x)叫做周期函数,常数T叫做函数f (x)的周期.对于一个周期函数f (x)来说,如果在所有的周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做函数f (x)的最小正周期
一、对于概念中“任意”的理解如何正确理解概念中“当x取定义域D内的任意值时,都有f (x T)=f (x)成立”,首先要将其中的“任意”与“存在”类结论进行区分.例如,判断函数f (x)=sinx(x≠0)是不是周期函数.我们知道f (x)=sinx(x∈R)是一个周期为2π的周期函数,然而应当注意到定义域中挖去0后,当x=-2π时,f (x 2π)=f (0)无意义.于是该函数并不是周期函数,因为有一个地方不满足要求,不符合“任意”一词。也就是说,周期性应当是函数的整体性质,并不存在函数局部满足周期性的说法.
而进一步挖掘概念中这句话,我们可以得到一个隐含的条件“若x∈D,则必有x T∈D”.于是就有了这样的结论: “若函数f (x)存在正周期T,则其定义域必定正向无界,也就是自变量的值可以趋向正无穷;若函数f (x)存在负周期T,则其定义域必定负向无界,也就是自变量的值可以趋向负无穷.”于是对于如y=sinx这样的既有正周期又有负周期的函数而言,其定义域必定可以趋向正无穷和负无穷. 于是在判断一个函数是否为周期函数时,定义域可以作为一个先决的条件.
二、概念理解中的两个常见误区(1)是否所有的周期函数都一定存在最小正周期呢? 其实不然,比如函数y=sinx(x≤0),因为满足sin(x-2kπ)=sinx(k∈N * ),所以它有负周期-2kπ(k∈N * ),却不存在正周期,更不存在最小正周期.
那么,如果将这个命题改为“所有存在正周期的周期函数都一定存在最小正周期”,又是否正确呢?其实仍然可以找到反例,比如,常值函数y=1(x∈R),显然任意的正实数都是它的正周期,但不存在最小正周期.
我们不妨再进一步,如果将命题改为“所有存在正周期的非常值函数的周期函数都一定存在最小正周期”,又是否正确呢? 其实这个命题仍然错误,比如Dirichlet函数:
http://baike.baidu.com/item/狄利克雷函数/951546?fr=aladdin
所有的有理数都是它的周期,自然存在正周期,同时也是非常值函数,然而它还是不存在最小正周期.
(2)若函数f (x)存在周期T,则kT(k为非零整数)一定也是f (x)的周期吗? 这个命题对于初学的学生来说,是很容易弄错的. 因为如果仅着眼于如y=sinx这样的既有正周期又有负周期的函数, 那么就无法找到反例.事实上,对于像前面提到的函数y=sinx(x≤0)这样,仅存在负周期而无正周期的函数而言,不难发现,若T和kT都是其周期,命题中的常数k必须是正整数.同样,对于仅存在正周期而无负周期的函数也是如此.
三、概念的几何解释从概念上理解,不难得到周期函数的图像存在这样的特征:若周期T>0(T<0),则函数图像上任意一点向右(左)平移T个单位后仍在该函数图像上.为了辨析理解,笔者在课上设计了两个函数的图像(图1、图2),其实只要理清周期函数的图像特征,不难发现它们都不是周期函数.
至此,我们对于周期函数的图像特征似乎已经挖掘得较为透彻.然而,更多的学生对于周期函数的图像停留在了“周而复始”、 “不断重复” 这样的印象上.那么,周期函数的图像是否一定是学生所认为的“周而复始”、 “不断重复” 呢? 我们不妨来考查这样一个函数: 我们将周期函数f(x)=|x-2k| (x∈[2k-1,2k 1],k∈N)的图像仅仅取
...(其中m∈N)的部分,于是就得到了如图3所示的函数图像.从图像上来看,似乎与印象中的“周而复始”、“不断重复”并不吻合,该图像上相邻两段通过平移并不能重合,然而这的确是一个周期函数,满足周期的定义:当x取定义域D内的任意值时,都有f (x 2)=f (x)成立,所以这是一个周期为2的函数.
四、概念的延伸若定义域为R的函数f (x)、g(x)都是周期函数,那么f (x) g(x)也一定是周期函数吗? 对于这个命题,甲给出这样的解答:假设函数f (x)的周期为T 1 ,函数g(x)的周期为T 2 ,则有f (x T 1 )=f (x),g(x T 2 )=g(x),所以只需取T=[T 1 ,T 2 ]([T 1 ,T 2 ]为T 1 和T 2 的最小公倍数),那么f (x T) g(x T)=f (x) g(x),所以T为函数f (x) g(x)的周期.如此解答粗看似乎挺有道理,但其实经不起推敲,倘若T 1和T 2 不存在最小公倍数呢, 比如T 1 是无理数,T 2 是有理数,那就找不到这样的周期T了.所以这个命题其实是假命题.同样地,对于两个周期函数作其他四则运算也是如此.
反过来,如2016年上海高考卷第18题,判断命题真假:设f (x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,若f (x) g(x),f (x) h(x),g(x) h(x)均是以T为周期的函数,则f (x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数.这个命题是真命题,因为条件中这三个函数的周期相等,那么它们作四则 运 算 的 结 果 也 都 是 周 期 函 数 .
那么对于两个定义域为R的函数的复合函数y=f (g(x))呢? 容易发现,若f (x)是周期函数,而g(x)不是,则函数y=f (g(x))不一定是周期函数;若g(x)是周期函数,则无论f (x)是不是周期函数,函数y=f (g(x))一定是周期函数.
反过来,若函数y=f (g(x))是周期函数,那么定义域为R的两个函数f (x)、g(x)是否至少有一个是周期函数呢? 其实,这还是一个假命题.