大家好，感谢大家的关注，今天继续为大家分享！我们在学习三角形的时候，会有好多“心”的知识，其实三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心等等，可能好多同学已经被搞迷糊了，弄清楚它们很容易，我们先看一道题。
已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M。
（1）求证：AH=2OM；
（2）若∠BAC=60°，求证：AH=AO。
分析：这道题出现了三角形的外心还有三角形的垂心，如果我们对三角形的各"心"很清楚的话我们很快就有思路（1）延长AD到F连BF，做OG⊥AF，求出矩形OGDM，求出OM=GD，根据等腰三角形的性质和判定、垂径定理求出HD=DF，代入求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出B=2OM即可．下面来看详细解答过程：
证明（1）过O作OF⊥AC于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，
∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，
∴OM∥AD，BE∥OF，
∵M为BC中点，N为CH中点，
∴MN∥BE，
∴OM∥FN，MN∥OF，
∴四边形OMNF是平行四边形，
∴OM=FN，
∵AH=2FN，
∴AH=2OM．
证明（2）连接OB，OC
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOM=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OB=2OM=AH=AO，
即AH=AO．
本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点。题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线以及对三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心等考点的理解。可能还有好多朋友对这几个"心"还掌握的不是太好，那么今天我们就借助这道题再来把三角形内心、外心、中心、重心的知识再复习一下。
三角形的四心定义：
1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：
1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
2、三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
3、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。
三角形的内心的性质：
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r=2S/(a b c)
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a b-c)/2．
4、∠BOC = 90 ° ∠A/2 ∠BOA = 90 ° ∠C/2 ∠AOC = 90 ° ∠B/2
5、S△=[(a b c)r]/2 (r是内切圆半径)
三角形的垂心的性质:
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
3、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
4、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
5、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
6、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
三角形的重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
三角形旁心的性质
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
这些三角形的“心”的知识给大家分享完了，三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，我们只要记住它们的定义，它们的性质我们结合图形就能很快理解，重点是要熟练，熟练了我们做题时候才能得心应手。现在你都把三角形的这些“心”弄明白了吗？
好了今天分享到此，感谢大家的关注收藏点赞转发
