数与式的发展史(数论之二项式)
数与式的发展史(数论之二项式)
2024-11-08 11:31:36  作者:掏心的结局  网址:https://m.xinb2b.cn/tech/bxm487003.html

这是一系列关于数论的介绍性文章,目的在于推广数学知识,拓展读者的数学思维至于为什么用图文而不是视频?图文有三个优越性:一是图文数据量小,节省学习时间;二是有助于个人主动思考;三是文字里的关键字,可以方便读者查阅相关资料,我来为大家科普一下关于数与式的发展史?下面希望有你要的答案,我们一起来看看吧!


数与式的发展史

这是一系列关于数论的介绍性文章,目的在于推广数学知识,拓展读者的数学思维。至于为什么用图文而不是视频?图文有三个优越性:一是图文数据量小,节省学习时间;二是有助于个人主动思考;三是文字里的关键字,可以方便读者查阅相关资料。

二项式是只有两项构成的代数式,如。数学家对二项式取幂后的各项系数研究甚广,并把它们命名为二项式系数。

对二项式系数,有一个通用记号:

利用二项式系数,的展开式形如

可以利用

探索二项式系数的规律,可以发现如下定理。

定理 (二项式系数的加法公式) 设为整数,则

对于二项式,有以下著名的二项式定理。

定理 (二项式定理) 展开式

中的二项式系数如下确定:

在数论里,对二项式系数模p运算,p为素数,有如下定理。

定理 (模p二项式定理) 设p为素数。

(a) 二项式系数同余于

(b)对任意数A,B, 有

可以利用定理的(b)证明费马小定理。

定理 (费马小定理) 设p为素数, a为满足的任一数,则

归纳证明 先用归纳法证明公式对所有数a都成立。

显然上式对a=0成立,接下来假设上式对某个特定的值a成立,则 对A = a和B = 1应用模p二项式定理,

由归纳假设.

这就完成了公式的归纳证明。

这意味着p整除,因此

因为由假设p不整除a,故可得

,

这就完成了费马小定理的证明。

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