黎曼积分是怎么回事(什么是黎曼和什么是定积分)
黎曼积分是怎么回事(什么是黎曼和什么是定积分)
2024-11-05 07:16:00  作者:梦林夕  网址:https://m.xinb2b.cn/tech/avv161623.html

在初等数学中学习了三角形,四边形,多边形的面积计算:


现在来学习曲边梯形的面积是如何定义的,以及如何计算的:


1 抛物线下的曲边梯形

1.1 问题

之前介绍过,要求 , 之间的曲边梯形的面积 :


可以把 均分为 份,以每一份线段为底,以这一份线段的右侧的函数值为高做矩形:


当n→∞ 的时候,矩形面积和就是曲面下的面积:


那么,能不能以这一份的线段的左侧的函数值为高做矩形?


1.2 计算


把坐标组成两个集合:


因此,以左侧的函数值为高的矩形和可以如下计算:


同样的道理,可以得到以右侧的函数值为高的矩形和:


当 n→∞ 的时候,两者是相等的,它们都是曲边梯形的面积:


2 狄利克雷函数的曲边梯形

之前介绍连续的时候就介绍过狄利克雷函数:


也见识过它的古怪性质。这里也要把它拉出来作一个反面典型。D(x) 的图像是没有办法画的,非要画也就是这样的:


假设要求 内的曲边梯形面积,尝试对 进行 等分,那么等分点必然为有理数点(下图为了演示方便,调整了下 坐标的比例):


所以这些等分点的函数值必然为1。以1为高,以等分区间长度为底作矩形,可以得到:


这些矩形的和必然为1,可以想象进行 n 等分也依然为1,所以有:


下面换一种划分方式,以邻近的两个无理数作为端点划分区间,这些区间的端点的函数值必然为0,以区间长度为底,0为高,得到的矩形和为:


可见,对于 而言,不同的划分区间、不同的高的取法,会导致不同的矩形和:


3 黎曼和


格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼(1826-1866)是德国数学家,黎曼几何学创始人,复变函数论创始人之一。在数学界搞风搞雨的黎曼猜想也是他的杰作。

基于对刚才两种情况:

抛物线下的曲边梯形狄利克雷函数下的曲边梯形

的思考,看到不同划分带来的效果,黎曼先发明了黎曼和,进而定义了曲边梯形的面积,也就是定积分。

3.1 任意划分

[a,b] 不一定需要均分为n份,可以任意分割:


很显然用于分割区间的点符合:




3.2 任意高度


那么矩形的高度也可以是任意的:


3.3 黎曼和

根据刚才的讲解,可以得到如下定义:




4 定积分

随着[a,b] 的划分不断变细,所有子区间的长度趋于0时,黎曼和不断地逼近曲边梯形的面积:


这个过程的严格化如下:



其中,S 代表英文中的求和(“sum”),拉长的 ∫ 则表明积分是和的极限(“limits of sums”)。这个符号相当精练,可以表达非常丰富的信息:


  • 南极大冒险团队启示(如果想奋斗努力的人)
  • 2024-11-06如果想奋斗努力的人英国作家阿道司赫胥黎说过一句话:要意志坚强,要奋斗努力,要探索,要发现,而且永不屈服,珍惜在我们前进道路上降临的善,忍受我们之中和周围的恶,并下决心去消除它电影历史上,有很多讲述奋斗努力的电影,但是有。
  • 银魂最后大结局17(我梦见了银魂大结局)
  • 2024-11-06我梦见了银魂大结局最近一直在忙,感觉有很久没更新了这跟银魂完结的节奏巧合,不是我故意的我还想在有限时间的情况下继续写的关于银魂的消息越来越少,可能到3月之后,银魂会一直沉寂下去?可能吗?可能的!吧!(《银魂》700话彩。
  • 千层卷怎么包?这款千层卷火的卖点
  • 2024-11-06千层卷怎么包?这款千层卷火的卖点春季要吃什么甜品,我看这款cookingtree的抹茶草莓奶酪千层合适不过了!抹茶粉融进蛋奶液,经过手工煎的皮,裹上草莓奶酪,简直是千层界的完美结合!切开更是惊艳,它满满的草莓快要溢出来了,雪白的奶酪。
  • 梅子的功效和禁忌(梅子有哪些功效和禁忌)
  • 2024-11-06梅子有哪些功效和禁忌梅子具有抗菌、抗病毒、改善酸性体质、止酸、止泻、治疗虚热烦渴、消除腹胀,解酒、生津监渴梅子味酸、性温,富含柠檬酸、琥珀酸和苹果酸,为碱性食物,可中和酸性体质,使血液保持中性或弱碱性,具有止咳、止泻和生。
  • 天津有什么好吃的(天津好吃的有什么)
  • 2024-11-06天津好吃的有什么狗不理包子狗不理包子大伙儿毫无疑问也不生疏,拥有百年老的历史时间,它和耳朵眼炸糕、十八街麻花并称之为津门三绝,狗不理包子也是津门三绝之首,狗不理包子外形美观大方,包子褶很均匀,每一个小笼包都不容易低于。
  • 怎样种植盆栽韭菜(韭菜栽种成盆栽)
  • 2024-11-06韭菜栽种成盆栽提要:韭菜栽种成盆栽,不光能观赏,还能吃到新鲜韭菜!韭菜是生活中比较普遍的一种食材,味道鲜香,无论是炒菜还是包包子、包饺子都特别好吃,尤其是对于喜欢素食的朋友,韭菜更是生活中必不可少的在城市生活的朋友。
  • 五星级养老院评定标准(五星级养老院到底长啥样)
  • 2024-11-06五星级养老院到底长啥样每经记者:李蕾每经编辑:肖芮冬7月初,被称为我国养老机构星级评定“国标”的《养老机构等级划分与评定》正式实施依照这个标准,养老机构的评定被分为五个等级,级数越高即机构综合能力越强对国内近3万家养老机构。
  • 职业技能等级资格证如何报考(快速了解职业技能等级证书)
  • 2024-11-06快速了解职业技能等级证书通过前期给大家推送的《技能证书有哪些?怎么查?戳这里就知道了》推文,相信大家对职业技能等级证书有了一定的了解,今天,小编再给大家奉上十个出镜率最高的问题解答,一起来看看吧!一什么是职业技能等级证书?答。
  • 我国的植树节是哪年哪月哪天设定的(植树节介绍)
  • 2024-11-06植树节介绍于1915年倡议设立,最初将时间确定在每年清明节1928年,国民政府为纪念孙中山逝世三周年将植树节改为3月12日新中国成立后的1979年,在第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为中国。
  • 苏菜10大招牌菜(江苏菜美食图鉴)
  • 2024-11-06江苏菜美食图鉴江苏菜,也被称为苏菜,是中国八大菜系之一,以精美细腻的外观和新鲜、自然、温和的口味而闻名大部分江苏菜都很好地保留了食材原料的原始风味江苏菜的历史江苏菜的历史已经超过2000年现在我们熟悉的江苏菜,主要。