黎曼积分是怎么回事(什么是黎曼和什么是定积分)
黎曼积分是怎么回事(什么是黎曼和什么是定积分)
2024-11-22 12:08:24  作者:梦林夕  网址:https://m.xinb2b.cn/tech/avv161623.html

在初等数学中学习了三角形,四边形,多边形的面积计算:


现在来学习曲边梯形的面积是如何定义的,以及如何计算的:


1 抛物线下的曲边梯形

1.1 问题

之前介绍过,要求 , 之间的曲边梯形的面积 :


可以把 均分为 份,以每一份线段为底,以这一份线段的右侧的函数值为高做矩形:


当n→∞ 的时候,矩形面积和就是曲面下的面积:


那么,能不能以这一份的线段的左侧的函数值为高做矩形?


1.2 计算


把坐标组成两个集合:


因此,以左侧的函数值为高的矩形和可以如下计算:


同样的道理,可以得到以右侧的函数值为高的矩形和:


当 n→∞ 的时候,两者是相等的,它们都是曲边梯形的面积:


2 狄利克雷函数的曲边梯形

之前介绍连续的时候就介绍过狄利克雷函数:


也见识过它的古怪性质。这里也要把它拉出来作一个反面典型。D(x) 的图像是没有办法画的,非要画也就是这样的:


假设要求 内的曲边梯形面积,尝试对 进行 等分,那么等分点必然为有理数点(下图为了演示方便,调整了下 坐标的比例):


所以这些等分点的函数值必然为1。以1为高,以等分区间长度为底作矩形,可以得到:


这些矩形的和必然为1,可以想象进行 n 等分也依然为1,所以有:


下面换一种划分方式,以邻近的两个无理数作为端点划分区间,这些区间的端点的函数值必然为0,以区间长度为底,0为高,得到的矩形和为:


可见,对于 而言,不同的划分区间、不同的高的取法,会导致不同的矩形和:


3 黎曼和


格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼(1826-1866)是德国数学家,黎曼几何学创始人,复变函数论创始人之一。在数学界搞风搞雨的黎曼猜想也是他的杰作。

基于对刚才两种情况:

抛物线下的曲边梯形狄利克雷函数下的曲边梯形

的思考,看到不同划分带来的效果,黎曼先发明了黎曼和,进而定义了曲边梯形的面积,也就是定积分。

3.1 任意划分

[a,b] 不一定需要均分为n份,可以任意分割:


很显然用于分割区间的点符合:




3.2 任意高度


那么矩形的高度也可以是任意的:


3.3 黎曼和

根据刚才的讲解,可以得到如下定义:




4 定积分

随着[a,b] 的划分不断变细,所有子区间的长度趋于0时,黎曼和不断地逼近曲边梯形的面积:


这个过程的严格化如下:



其中,S 代表英文中的求和(“sum”),拉长的 ∫ 则表明积分是和的极限(“limits of sums”)。这个符号相当精练,可以表达非常丰富的信息:


  • 翡翠原石报价(现在翡翠原石价格多少一公斤)
  • 2024-11-22现在翡翠原石价格多少一公斤翡翠原石价格成为了圈内圈外都十分关注的焦点,一些残次级别的翡翠原石,一般是100元/公斤左右,而一些稀缺和珍贵的翡翠原石,价格自然就比较贵重有时候,一个翡翠原石能达上千万的高价,像那些中等级别的翡翠原。
  • 年夜饭做一道清蒸黄鱼(元宵节美食大赏)
  • 2024-11-22元宵节美食大赏黄鱼用砂锅简单的一焖,鲜味自然来!滚烫着上桌,那一个鲜字了得!这个春节我们原地过年,仪式感的年菜一定要整上一桌,简单快捷又美味的小黄鱼做法绝对值得一试!By京伶爱家用料小黄鱼8条葱姜适量香菜1根洋葱1。
  • 水浒36天罡排行榜(三十六天罡的原型都是什么)
  • 2024-11-22三十六天罡的原型都是什么三十六位好汉数量有点多,挤在一篇文章里面实在是呼吸不畅,大家看的也累,所以红尘君上篇先出场了十六位,剩下的二十位咱们在这下篇中再亮相关于《宋江三十六赞》的一些背景和《忠义水浒传》的联系,上篇都说过了,。
  • 铠甲勇士彤彤的扮演者
  • 2024-11-22铠甲勇士彤彤的扮演者彤彤的扮演者是陈真希《铠甲勇士之帝皇侠》是由广东奥飞动漫文化股份有限公司出品的科幻片,由郑国伟执导,唐禹哲、郭帅、袁成杰主演,于2010年1月23日上映。
  • 体检不能喝水的原因(体检不能喝水原因)
  • 2024-11-22体检不能喝水原因因为喝水会使血容量增加,造成血溶性的血压升高,从而使血的有形物质的比例减少,由于胃肠内存在着未吸收的水分,造成血常规检查却变成了低浓度血检,可想而知体检结果可能是不准确的一般临床上的体检项目,比如说肝。
  • 物以类聚人以群分怎么分(物以类聚人以群分)
  • 2024-11-22物以类聚人以群分与凤凰同飞,必是俊鸟;与虎狼同行,必是猛兽!你能走多远,看你与谁同行!物以类聚,人以群分,靠谱的人却会感染你如何取得进步人与人,不是都可以信任,心与心,不是都愿意付出诚恳雪中送炭永远比锦上添花,更厚重。
  • 腾飞教室式与方程思维导图(腾飞教室式与方程思维导图)
  • 2024-11-22腾飞教室式与方程思维导图式与方程知识点:用字母表示数(表示数量关系、表示运算定律、表示计算公式、把数值代入式子数值)、简易方程(等式、方程、方程的解、解方程)通过复习,腾飞教室的孩子们把自己对式与方程知识的理解通过思维导图展。
  • 志伟老婆跳舞(祝愿志伟早日找到女朋友)
  • 2024-11-22祝愿志伟早日找到女朋友@中秋挑战赛路遇小学同学阿彩家门,被阿彩热情地喊住,停下来,聊天叙旧和阿彩做了一年同学,她坐在我后面,记得有一次,一定要塞我五毛钱,在当时,这可是不小的数目,所以这份情,回想起来,还是温暖备至还有比儿。
  • 韩式铁板烤五花肉做法(韩式烧烤改良版)
  • 2024-11-22韩式烧烤改良版原料:辣白菜100克,五花肉500克调料:色拉油80克,自制烤肉汁100克,葱末、姜末、蒜末各8克秘制烤肉汁配方:白梨5千克,蒜瓣、姜末各2500克,柠檬1500克,放入榨汁机内榨成汁,加入东古一品鲜。
  • 绿山墙的安妮的好词好句有哪些
  • 2024-11-22绿山墙的安妮的好词好句有哪些自得其乐恋恋不舍如梦如幻漫不经心克以奉公波光粼粼秋雨洗刷过的天空,像大海一样湛蓝碧透朵朵白云犹如扬帆起航的轻舟,在水面上慢悠悠地飘浮着她头上戴了一顶有光泽的小而平坦的水兵帽,曾经想要拥有一顶装饰着飘带。
  • 贵重玉不开光佩戴起作用吗(玉石爱好者都知道死人戴过的玉邪门)
  • 2024-11-22玉石爱好者都知道死人戴过的玉邪门“玉,石之美者,有五德,润泽以温,仁之方也”这话意思是说:玉是集天地灵气,玉是是有心的,就是俗话“玉能养人,人能养玉”还有一句话叫“人养玉三年,玉养人一生”就是指玉戴久了会有一定灵性,能护佑佩戴者那么。