一．概念描述

现代数学：往《数学辞海·第一卷》 一书中没有表面积的明确定义，但是有“全面积” 一说，即刻画表面积大小的数量及其计算公式。

棱柱、棱锥、棱台的全面积都是指：刻画其表面积大小的一个数量及其计算方法。它们全面积的计算方法就是其侧面积与底面积的和。

圆柱的全面积是刻画圆柱表面积大小的一个数量及其计算公式。直圆柱的侧面积与底面积的和为它的全面积。如果直圆柱的底面半径为r，高为h，那么它的全面积为S=2πr(h r)。斜圆柱的侧面积和它的两底椭圆面积的和是它的全面积。设母线长为l，直截面圆周长为C，底面椭圆的长短半轴为a、b，斜圆柱全面积为S=Cl 2πab。

圆锥的全面积是刻画圆锥表面积大小的一个数量及其计算公式。圆锥的全面积等于它的侧面积与底面积的和，其计算公式为S=πr(l r)。

圆台的全面积是刻画圆台表面积大小的一个数量及其计算公式。圆台的全面积等于它的侧面积与两底面积的和，所以S=π(rl r'l r2 r’2)。其中，l是圆台母线的长，r’和r分别是圆台上、下底面圆的半径。

小学数学：所有立体图形所能触摸到的面的面积之和，是这个图形的表面积。在小学阶段，我们学习的长方体和正方体的表面积，就是指它们6个面的面积之和。圆柱的表面积就是指它的侧面积和两个底面积之和。圆锥的表面积小学不做研究。

二．概念解读

小学阶段所涉及的长方体、正方体、圆柱的表面积其实都是它们的底面积和侧面积之和。当我们沿着高将长方体、正方体、圆柱的侧面展开，就会发现它们的侧面展开后都是一个长方形，因此，表面积就是学生已经学习过的长方形、正方形、圆形等几个平面图形面积的组合。

要说明的是，我们在这里所提到的表面积，是指在理想状态下，可以触摸到立体图形的每一个面，求出各个面的面积之和。

在小学教材中，还有一些内容，如磁带盒（或者是火柴盒、香皂盒）的包装问题、纸箱问题等。这些问题都不是在求一个立体图形真正的表面积，而是对表面积的拓展应用。

例如，有4盒完全相同的长方体录音带，用哪种方式包装最省料？（如下图）

又如纸箱问题：把长50厘米、宽30厘米、高20厘米的水果箱（如下图中的左图）的上、下盖打开后是个长方体纸筒（如下图中的右图），做这个水果箱至少需要多少纸板？

三．教学建议

在对表面积的研究中，产生了许多优秀的教学案例。关于长方体、正方体以及圆柱的表面积可以采取相同的教学思路，下面以长正方体表面积为例提供以下几种教学设计作为参考：

(1)“包装式”的教学设计

首先，教师要引导学生思考为立体图形穿上鲜艳的外衣（可以是涂色，也可以是贴彩纸），这件外衣怎么穿？在这个过程中，学生会主动说明要想穿上鲜艳的外衣，需要把立体图形的哪几个面进行包装。教师再引导学生观察、发现：它们刚好在立体图形的表面，是这几个面围成了这个立体图形，从而使学生认识到，这几个面就是立体图形的表面，它们的大小就是这个立体图形的表面积。

(2)“化立体为平面”的教学设计

人教版、北师大版、北京版等各种版本的教材中，都增加了“立体图形的展开图”这个教学内容。立体图形的平面展开图有利于学生空间观念的发展，能够帮助学生在三维与二维的相互转化中理解立体图形表面枳。课前，教师可以让学生准备好所需的立体图形；课中，引导学生沿着立体图形的棱剪开，将立体图形转化为平面图形。引导学生观察平面展开图，学生就会发现：是这些展开后的平面图形围成了立体图形。这些平面图形都是已经学过的几何图形，计算这些平面图形的面积之和就可以得到立体图形的表面积。

(3)“化平面为立体”的教学设计

除了以上提到的两种设汁，教师还可以采取做模型的方式进行教学。教师可为学生提供一些纸板，然后提出一起来做个长方体（正方体或圆柱）模型。在做的过程中，学生会通过自己的实践操作发现，做一个长方体，只要准备好数据合适的6个长方形就可以了，再把这6个长方形按一定的方式用透明胶带围成一个长方体。学生在思考数据、动手剪长方形、利用胶带围长方体的这个过程中，对立体图形的表面已经有了充分的认识。学生在自己动手操作的过程中，非常清晰地认识到长方体表面的每一个面都是长（正）方形，在计算所需纸板的总面积时只需计算这几个长（正）方形的面积总和就可以了，也就是这个长方体的表面积。

四．推荐阅读

《数学辞海·第一卷》（裘光明，山西教育出版社，2002）

该书第266页对“体积与表面积”的相关概念有详细的解读。