平行四边形是初中数学中的一个重要章节,其涉及概念性质、几何证明等多方面的知识内容。它既是对三角形相关知识的复习与延伸，也是进一步学习其它平面图形的基础。而平行四边形的性质是本章的第一节内容，掌握本节内容的知识要点和学习方法，有利于学习和掌握平行四边形的判定方法，及特殊平行四边的性质和判定，学生学好本节内容非常重要。
要学好本节内容需从以下几方面做起。
一、理解平行四边形的定义。
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
平行四边形ABCD记作▱ABCD。在表示四边形时应注意，以一点为起始点，然后沿顺时针方向或逆时针方向书向都可以，但不能跳点书写
如图:
记作“▱ABCD，它表示两层含义:
①若AB//CD，AD//BC，则四边形ABCD为平行四边形。可用来判断四边形是否为平行四边形
②若已知▱ABCD，则可得AB//CD，AD//BC。可用来说明两直线平行。
二、掌握平行四边形性质定理的证明方法:
利用对角线，把四边形转化为三角形，利用三角形全等证明。(这种把四边形转化为三角形，利用三角形全等证明问题的方法，是平面图形证明中常用的方法，注意收藏噢！)
例:证明:平行四边形的对边相等。
①分析命题:题设平行四边形，结论对边相等
②画出图形。(图形只能画平行四边形，对角线BD是添加的辅助线)
③写出已知和求证。
已知:四边形ABCD为平行四边形，求证AB=CD，AD=BC。
④证明:连结BD(添加对角线，转化为三角形，利用全等三角形证明边相等)
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//BC，AB//DC
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠BDC
又∵AC=AC
∴△ABD≌△CDB
∴AD=BC，AB=DC
用此种方法也可证明四边形对角相等。
三、牢记平行四边形的性质。
按照平行四边形由边、角、对角线构成来记。
文字语言表述:
1、边:平行四边形对边平行且相等。
2、角:平行四边形对角相等，邻角互补。
3、对角线:平行四边形对角线互相平分。
几何符号语言表述:
如图:在▱ABCD中，
①AD//BC，AB//DC。 AD=BC，AB=DC。
②∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC。
∠BAD ∠ABC=180°，∠ABC ∠BCD=180°
③OA=OC，OD=OB。
四、掌握应用平行四边形性质解决问题的常见题型
1、证明线段相等。
例1、(2018，淮安)已知:如图，在▱ABCD中，点E，F分别是
AD，BC的中点，求证BE=DF。
证明:∵在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∠A=∠C
又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE=1/2AD，CF=1/2BC
∴AE=CF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴BE=DF。
例2、(2018，福建)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于E，F。
求证OE=OF。
证明:∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD//BC
∴∠DAC=∠BCA
∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF(SAS)
∴OE=OF
2、证明两线平行。
例:(2018，临安区)已知:如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，求证
(1)∴△ADF≌△CBE。(2)EB//DF。
证明:(1)∵在平行四边形ABCD中
AD=BC，AD//BC
∴∠DAF=∠BCE
又∵AE=CF
∴AE EF=CF EF，即AF=CE
∴△ADF≌△CBE
(2)∵△ADF≌△CBE
∴∠AFD=∠CEB
∴EB//DF。
注意:(1)在平行四边形有关问题中，如果图中已知有平行四边形，则可得到该四边形的对边平行且相等，对角相等。(2)要证四边形中的边或角相等，也经常利用三角形全等来证明。(3)证明一般的两三角形全等，有四种判定方法。①(边边边)，②(边角边)，③(角边角)，④(角角边)。
3、求平行四边形的面积。
平行四边形的面积=底×这个底边上的高。
S▱ABCD=AB×DF=BC×DE
例1已知，▱ABCD的对角线AC的长为10cm，∠CAB=30°，AB的长为6cm，求▱ABCD的面积。
解:过点C作CE丄AB，垂足为E。
∵∠CAB=30°，AC=10
∴CE=1/2AC=1/2×10=5
又∵AB=6
∴S▱ABCD=AB×CE=6×5=30
例2、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC丄AB，AB=2，AC:BD=2:3，求:
(1)AC的长。(2)AOD的面积。
分析:当图中有直角三角形时，注意用勾股定理求线段的长度。
解:∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA=1/2AC，OB=1/2BD
∵AC:BD=2:3
∴OA:OB=2:3，设OA长为2x，则OB长为3x
∵AC丄AB
∴△BAO为直角三角形
由勾股定理得:OB²－OA²=AB²，又∵AB=2
∴(3x)²－(2x)²=2²
5x²=4，解得x=±2√5/5
AC=2OA=2×2x=4×2√5/5=8√5/5
(2)S▱ABCD=AB×AC=2×8√5/5=16√5/5
S△AOD=1/4S▱ABCD=1/4×16√5/5=4√5/5
4、求图形中三角形的周长。
例1、(2019，遂宁)如图，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE丄BD交AD于点E，若▱ABCD的周长为28，求△ABE的周长。
解:∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O
∴OB=OD，又∵OE丄BD
∴BE=DE(线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等)
∴三角形ABE的周长=AE BE AB
=AE DE AB=AD AB
∵▱ABCD的周长为28
∴三角形ABE的周长=AD AB=28÷2=14。
5、求线段的取值范围。
一般根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答。
例1、若平行四边形的一边长为8cm，一条对角线长为6cm，求另一条对角线长的取值范围
解:如图，在▱ABCD中，AD=8cm，AC=6cm。
则AO=1/2AC=1/2×6=3cm
在△AOD中，AD－OA<OD<AD OA
∴8－3<OD<8 3，即5<OD<11
∴10cm<BD<22cm。
注意:当已知平行四边形中有对角线时，常利用①对角线互相平分。②两条对角线相交所分得的四个小三角形面积相等来解决问题。
如果你理解了平行四边形的定义，掌握了平行四边形性质定理的证明方法，牢记了平行四边形的性质，并能运用性质解决实际问题。那么平行四边形的性质一节你就学好了。
