只有五种多面体是正多面体。

证明如下：设正多面体每个顶点有m条棱，每个面都是正n边形，多面体的顶点数是V，面数是F，棱数是E。因为两个相邻面有一公共棱，所以

因为两个相邻顶点有一公共棱，所以

又因多面体的Euler定理，得V F-E=2，从上面三式可得

要使得上面的式子成立，必须满足2m 2n-mn>0，即1/m 1/n>1/2。因为m≥3，所以

于是n<6。

当n=3时，m<6，所以m能取的值是3、4、5；

当n=4时，m<4，所以m能取的值是3；

当n=5时，m<10/3，所以m能取的值是3。

当n=3，m=3时，V=4，F=4，E=6；当n=3，m=4时，V=6，F=8，E=12；当n=3，m=5时，V=12，F=20，E=30；当n=4，m=3时，V=8，F=6，E=12；当n=5，m=3时，V=20，F=12，E=30；所以正多面体只有上述五种。

以上就是为什么世界上只有5种正多面体的经典证明。本文想让大家对该问题增加兴趣，给出另一种证明方法。在证明之前，需要先明确两个概念问题。

什么叫做球面上均布孔呢？

做机械工程的人，经常遇到在一个圆面上圆周阵列孔的问题。在圆面一个圆周上阵列孔的数量，最少为2个，最多有无穷多个。如果在球面上圆周阵列孔，它的数量又是多少呢？

经过我的研究，我发现在球面上圆周阵列孔的数量，只有5种情况，分别为4个，8个，20个，6个，12个。正好与5种正多面体的顶点数量完全一致。

为了明确球面上均布孔的概念，需要满足以下几个要求。

1.孔的类型和大小都是相同的，孔的基准轴都指向球心并且过球心。

2.所有孔的基准轴与球面的交点，都位于球面上，但不能都位于过球心的一个平面上。

3. 以任意一个孔的基准轴为阵列轴，周围最小距离相邻的孔在圆周上均布且数量相等。对于所有孔，最小距离都是相同的。

什么叫做均分球面呢？

将球面上均布的孔，改成点，然后将所有最小距离相邻的点用直线连接起来，得到球的内接正多面体，用所有过球心和正多面体棱的平面去分割球面，就能将球面分割成形状和大小完全相同的曲面实体，这就叫做均分球面。

同样的道理，均分球面的数量，只有5种情况，分别为4个，6个，12个，8个，20个。正好与5种正多面体的面数量完全一致。将所有最小距离相邻的点用直线连接起来，得到球的内接正多面体，只有5种，分别是正四面体，正六面体，正二十面体，正八面体和正十二面体。

只有五种正多面体的solidworks软件证明

证明如下：5种正多面体，可由均分球面得到，因此问题转化为均分球面一共有多少种情况。点可以理解为孔的最小极限，均布点可看作均布孔的特殊情况。按照球面上均布孔的三个要求，我们开始用solidworks软件来作草图。

1、m=2，不可能。

在前视基准面上画草图，画一个任意大小的圆，给该圆添加固定约束。我们总能找到一个均分点，让它位于圆最上面的象限点上。

以该均分点与球心的连线作为阵列轴，在位于球面上的水平圆周上，如果只阵列两个点，将其中一个点转到草图圆上，根据圆周上两点阵列的特点，则另一点一定也位于草图圆上。根据均布孔要求3，分别以另外两点与球心的连线作为阵列轴，阵列周围最小距离相邻的点，得到的点，显然也都是位于草图圆上。同样的道理，阵列得到的所有点，也都会位于草图圆周上，即所有点都位于过球心的前视基准面上。不能满足均布孔要求2，因此只阵列两个点，不能均分球面。排除。

2、m=3，n=3，有解。

接上面，如果只阵列三个点，将其中一个点转到草图圆上，根据圆周上三点阵列的特点，则另两点一定不位于草图圆上。

将球面上的水平圆周上的三点，在旁边画一个草图，这里的圆称为副圆，左边的圆称为主圆，根据均布孔的要求，可以让副圆上阵列相邻点的距离等于主圆最上面象限点与阵列点之间的距离。如下图所示：

草图是完全定义的，说明草图有唯一确定的解。

按照以上思路继续画下去，能够画出整个球面上的均分点，均分点的数量是4个。说明m=3，n=3，有解。

3、m=3，n=4，有解。

接上面，可以让副圆上阵列相邻点的距离大于主圆最上面象限点与阵列点之间的距离，假如过主圆最上面象限点和副圆上相邻两点的平面上，存在第四个点，那么该平面内的4点，按照最小距离连接起来，是一个正方形或者菱形。过球心向四边形作垂线，垂足设为O点，可求证得到O点到四边形各顶点的距离相等，因此四边形不可能是菱形，而是正方形。正方形对角线长度等于边长的√2倍。如下图所示：

草图是完全定义的，说明草图有唯一确定的解。

按照以上思路继续画下去，能够画出整个球面上的均分点，均分点的数量是8个。说明m=3，n=4，有解。

4、m=3，n=5，有解。

接上面，假如过主圆最上面象限点和副圆上相邻两点的平面上，存在第四个点和第五个点，那么该平面内的5点，按照最小距离连接起来，是一个五边形。过球心向五边形作垂线，垂足设为O点，可求证得到O点到五边形各顶点的距离相等，因此五边形是正五边形。正五边形对角线长度等于边长的倍。如下图所示：

草图是完全定义的，说明草图有唯一确定的解。

按照以上思路继续画下去，能够画出整个球面上的均分点，均分点的数量是20个。说明m=3，n=5，有解。

5、m=3，n≥6，不可能。

接上面，假如过主圆最上面象限点和副圆上相邻两点的平面上，存在另外三个点，那么该平面内的6点，按照最小距离连接起来，是一个六边形。过球心向六边形作垂线，垂足设为O点，可求证得到O点到六边形各顶点的距离相等，因此六边形是正六边形。正六边形较短的对角线长度等于边长的倍。如下图所示：

草图是无法找到解的，说明m=3，n=6，不可能画出整个球面上的均分点。

至于为什么无解呢？因为副圆上阵列相邻点的距离等于副圆半径的倍，又要求该距离等于主圆最上面象限点与阵列点之间的距离的倍，说明主圆最上面象限点与阵列点之间的距离等于副圆的半径。在主圆草图上的那个三角形显然是直角三角形，斜边大于直角边，即主圆最上面象限点与阵列点之间的距离大于副圆的半径。相互矛盾。因此这种情况不可能。

m=3，n=7时，正多边形的内角越来越大，主圆最上面象限点与阵列点之间的距离越来越比副圆的半径小，这是不可能的。因此m=3，n≥6，均不可能。

6、m=4，n=3，有解。

接上面，如果只阵列四个点，将其中一个点转到草图圆上，根据圆周上四点阵列的特点，则另三点一定位于草图圆的象限上。

根据均布孔的要求，可以让副圆上阵列相邻点的距离等于主圆最上面象限点与阵列点之间的距离。如下图所示：

草图是完全定义的，说明草图有唯一确定的解。

按照以上思路继续画下去，能够画出整个球面上的均分点，均分点的数量是6个。说明m=4，n=3，有解。

7、m=4，n≥4，不可能。

接上面，可以让副圆上阵列相邻点的距离大于主圆最上面象限点与阵列点之间的距离，假如过主圆最上面象限点和副圆上相邻两点的平面上，存在第四个点，那么该平面内的4点，按照最小距离连接起来，是一个正方形或者菱形。同理可证该四边形是正方形。正方形对角线长度等于边长的√2倍。如下图所示：

草图是欠定义的，软件获得的解是，副圆上的阵列点与主圆最上面象限点几乎重合，说明m=4，n=4，不可能画出整个球面上的均分点。

至于为什么这样呢？软件在计算的时候，有时会无法找到解，有时也会出现这种副圆半径几乎为0的解。副圆半径为0，意味着任何倍数关系都成立，数学上有解，但是这种情况是不可能绘出球面上均分点的。副圆上阵列相邻点的距离等于副圆半径的倍，又要求该距离等于主圆的最上面象限点与阵列点之间的距离的倍，说明主圆最上面象限点与阵列点之间的距离等于副圆的半径。在主圆草图上的那个三角形显然是直角三角形，斜边大于直角边，即主圆最上面象限点与阵列点之间的距离大于副圆的半径。相互矛盾。因此这种情况软件计算的解，要么是无法找到解，要么是0解。

m=4，n=5时，正多边形的内角越来越大，主圆最上面象限点与阵列点之间的距离越来越比副圆的半径小，这是不可能的。因此m=4，n≥5，均不可能。

8、m=5，n=3，有解。

接上面，同理，我们得到草图如下：

草图是完全定义的，说明草图有唯一确定的解。

按照以上思路继续画下去，能够画出整个球面上的均分点，均分点的数量是12个。说明m=5，n=3，有解。

9、m=5，n≥4，不可能。

以n=4为例，同理，我们得到草图如下：

草图是无法找到解的，说明m=5，n=4，不可能画出整个球面上的均分点。同理，m=5，n≥5，均不可能。

至于为什么无解呢？还是因为主圆最上面象限点与阵列点之间的距离小于副圆的半径。因此不可能有解。

综上我们使用solidworks软件将均分球面所有有解的情况都找到了，分别如下：

当m=3，n=3，时，均分点的数量是4个，均分球面4个；当m=3，n=4，时，均分点的数量是8个，均分球面6个；当m=3，n=5，时，均分点的数量是20个，均分球面12个；当m=4，n=3，时，均分点的数量是6个，均分球面8个；当m=5，n=3，时，均分点的数量是12个，均分球面20个。

将球面上的均分点连接起来，就得到正多面体了，分别是正四面体，正六面体，正十二面 体，正八面体和正二十面体。

由以上证明或者验证可知，均分球面，只有5种情况有解，5种情况对应5种正多面体，因此正多面体只有5种。

本文主要让大家理解球面上均布孔和均分球面的概念，引起对正多面体感兴趣，为均分球面和正多面体的三维绘图，提供了一个设计思路。