为什么一些学生做了那么多数学题,还是不能把中考数学考好?
为什么一些学生数学基础掌握的非常扎实,但依然很难考取数学高分?
在很多人眼里,数学学习似乎只要多做题,分数自然会上去,但事实上却很少有人能这么“容易”做到。
这是为什么?
这要从中考的命题思路去解读,无论是中考还是高考,都是为高一级学校选拔人才。因此,中考除了考查大家知识点、概念、定理等等掌握的情况,更加考查大家对运用知识解决问题能力水平的高低等等。说白了,中考数学更加看重你的解题能力、思维水平等等。
数学学习,我们首先要扎实掌握好基础内容,通过解题提高解题能力,同时更要努力去提高自己的运用知识能力、思维能力、探索能力、创新能力等等。
如几何是初中数学最重要一块知识内容,相关数学问题能很好考查一个人空间想象能力、观察与实验能力、探索与实践能力等等。特别是平面几何的三大变换:轴对称、平移、旋转。这三大变换经常被当作重要考点,出现在很多综合问题、压轴题当中,考查考生的数学能力。
因此,今天我们就一起来讲讲平面几何的三大变换之一的平移变换。
平移变换一般是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、面)整体按照某个直线方向移动一定的距离,这样的图形变换叫做图形的平移变换,简称平移。
从平移变换的概念,我们可以解读出这样四个重要信息:
1、平移的两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据;
2、平移的方向不仅仅限于水平或竖直,还可以沿着某条直线平移;
3、图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改平移 变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据;
4、要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征。
典型例题分析1:
如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=2/3x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=5/2上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
考点分析:
二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,菱形的性质,相似三角形的判定和性质。
题干分析:
(1)根据抛物线y=2/3x2+bx+c经过点B(0,4),以及顶点在直线x=5/2上,得出b,c即可。
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可。
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=5/2时,求出y即可。
(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出OM/OB=ON/OD,得到ON=t/2,从而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可。
我们一定要紧紧记住:平移变换是由移动的方向和距离决定。经过平移变换后,平移前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等;平移前后图形的对应线段平行且相等,对应角相等。
我们对平移的性质进行细分,可以得到以下7个基本性质 :
1、经过平移,对应线段平行(或共线)且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等;
2、平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形);
3、 图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生变化;
4、 图形平移后,对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等;
5、多次连续平移相当于一次平移;
6、偶数次对称后的图形等于平移后的图形;
7、平移是由方向和距离决定的。
解决很多数学问题,我们都需要认真掌握好相关的性质定理,再运用这些性质定解决相关问题,如跟平移这7个基本性质,我们就可以得到一些解题方法技巧 :
1、平移线段时,要注意确定平移的方向和距离;
2、在几何图形中,平移的方向和距离如果确定,则图形平移后的位置就确定了。
典型例题分析2:
如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、
B(0,1)、C(d,2)。
(1)求d的值;
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图
像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P,
使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在,请求出点M和点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
考点分析:
反比例函数综合题,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,平行四边形的和性质,勾股定理,解分式方程和二元一次方程组。
题干分析:
(1)作CN⊥x轴于点N,由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。
(2)根据平移的性质,用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。
(3)根据平行四边形对角线互相平分的性质,取G C′的中点Q,过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y=6/x的图象交于P′点,求出P′Q=Q M′的点M′和P′的坐标即可。
几何变换的意义在于我们可以将互不相邻的元素集中到一起,使题目条件之间能建立适当的桥梁;通过几何变换,我们可以将分散图形、复杂图形变得更简洁、更基本、更加便于处理等等。掌握好几何变换相关知识内容,可以帮助我们更加高效解决数学问题。
如平移最大的作用就是可以 把分散的线段、角相对集中起来,从而使已知条件集中在一个基本图形之中,而产生进一步的更加深入的结果;或通过平移产生新的图形,而使问题得以转化。
解决几何问题,很多时候我们都需要借助辅助线来解决问题,但一定要注意平移和添加辅助线的区别。如借助平移的性质,去构造图形,常见的情形有:
1、构造平行线——平移线段,构造平移三角形;构造平行四边形或者等边三角形——平移图形。
2、几何图形平移时,一般先确定平移后的位置,过点构造平行线,再截取线段长度相等;
3、确定平移方向和距离,平移图形的对应顶点,再依次连接即可。
平移作为一种非常重要的几何变换,无论是在初中数学学习当中,还是在日常生活中都存在着大量的平移变换的知识。因此,在全国各地很多地方的中考数学试卷当中出现,甚至在一些地方作为必考考点出现。