欧拉—勒让德—高斯定理：奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式

称为二次互反定律的这一定律，由欧拉列出了公式但未给出证明。1785年勒让德在与欧拉毫无联系的情况下，独自发现了相同的定律，并作 了部分证明。

第一个完整的证明由高斯（1777 – 1855年）在他的奠定当代数论基础的名著中作出的。的成果，尤其是对一基本定理”。这部五百页的四开本充满了深奥观念的著作是高斯于20岁时写的。“这确实令人惊奇，”克罗莱克（Kroneaker）说： “试想一个这样年轻的人能够独自取得如此丰富个崭新的学科提出如此深远而又结构严谨的论述。”

此后高斯又发现了互反率的另外七种证明（高斯的证明参见奥斯特瓦德（Ostwald）的著作。二次互反率是数论的最重要定理之一。高斯称其为“ickson）在他的著作中写道：“二次互反率无疑是数论中最重要的工具，并且在数论的发展史中占有中心位置。

这一定律的重要性导致了其他一些数学家像雅可比（Jacobi）、柯西、刘维尔（Liouville）、克罗莱克、谢林（Schering）和弗罗本里斯（Frobenius）继高斯之后去探讨这一定理并提出了证明。P·巴克曼（P· Bach mann）列举了52种证明，并且就最重要的问题提出了报告。

也许所有证明里最简单的证明是下述算术—几何证明，它是所谓高斯辅助定理和A·凯莱（Arthur Cayley，1821 – 1895年）的几何思想⑧相结合的产物。

在作出证明之前先给出高斯辅助定理的推导。

设p为奇素数，D为不能被p整除的整数，如果x代表数1，2，3，...，p=p-2/2中的一个数，

Rx为除法Dx/p的普通余数，gx为相应的整数商，于是（1） Dx = Rx gxp。

按照Rx小于或大于1/2p，相应地令Rx=px或 Rx = ρx p，

第二种情况中的ρx代表除法Dx/p的负的最小余数，得到

或

如果在ρ个除法Dx/p(对于1，2，3，p)出现n个个负的最小余数，就有n个等式(1b)和m = ρ – n个等式（1a）。