数学家怎样学线性代数的(有趣的数学线性代数的本质)
数学家怎样学线性代数的(有趣的数学线性代数的本质)
2024-09-27 05:48:54  作者:老练的誓词  网址:https://m.xinb2b.cn/sport/nkr376395.html


- Hello,这里是魔法君。

如果要我选一个主题,它不仅让线性代数的其他内容一目了然,又经常被初次学习线性代数的人忽视。我会选择这个——线性变换的概念以及它和矩阵的关系。

今天,魔法君只会集中讲解这些变换在二维空间中长什么样,以及它们如何与矩阵向量乘法关联,怎样可以用一种方法不死记硬背地考虑矩阵向量乘法。


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首先,我们先来解析“线性变换(Linear transformation)”这个术语。

“变换(transformation)”本质上是“函数(function)”的一种花哨的说法。它接收输入内容,并输出对应结果。特别的,在线性代数的情况下,我们考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换。


“变换”

既然“变换”和“函数”的意义相同,为什么还要使用前者而不是后者?

因为使用“变换”是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系。一种理解“向量的函数”的方法是使用运动。

如果一个变换接收一个向量并输出一个向量,我们想象这个输入向量移动到输出向量的位置。


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接下来,要理解整个变换,我们可以想象每一个输入向量都移动到对应输出向量的位置。因为将向量看作箭头时,同时考虑所有二维向量会变得非常拥挤。


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所以魔法君这里告诉大家一个好技巧:将每一个向量看作它的终点,而不是一个箭头。用这种方法考虑所有输入向量都移动到对应输出向量的位置时,我们只用看空间中的所有点移动到其他点的位置。


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二维变换这种情况下,为了更好地体会整个空间形状上的改变,我喜欢对无限网格上的所有点同时做变换。我有时也喜欢在背景中保留原始网格的副本,以便追踪终点与起点的相对关系。

你不得不承认,各种各样对空间的变换所产生的效果是很美妙的,它们能给你一种挤压和变形空间的感觉。你也能想象到,任意一个变换可以非常复杂。


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但幸运的是,线性代数限制在一种特殊类型的变换上,这种变换更容易理解,称为“线性变换(Linear transformation)”。

直观的说,如果一个变换具有以下两条性质,我们就称它是线性的。

一是直线在变换后仍然保持为直线,不能有所弯曲;

二是原点必须保持固定。

举几个例子,现在所示的这个变换不是线性变换。

因为直线变得弯曲了。


“弯曲了”

而对于这一个变换,即便保持直线平直,它也不是一个线性变换。

因为它移动了原点的位置(但它是仿射变换Affine Transformation)。


“原点移动了”

这一个变换保持原点不动,乍一看它好像保持直线平直。但实际并非如此,因为我只给你展示了水平和竖直的网格线。当你看看它对一条对角线作用时,很明显它不是一个线性变换。

因为这条线被弯曲了。


“线被弯曲了”

总的来说,你应该把线性变换看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换。

部分线性变换很容易思考,比如关于原点的旋转。

其他的稍显复杂,难以言表。

你觉得应该如何用数值去描述这些线性变换呢?比如说,你在通过编程制作动画和视频来教授这一主题,你应该给计算机什么样的计算公式使得你给它一个向量的坐标,它能给你变换后向量的坐标呢?


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实际结果是,你只需要记录两个基向量i帽和j帽变换之后的位置,其他向量都会随之运动。


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比如说,考虑坐标为(-1,2)的向量v,这个向量就是-1与i帽之积和2与j帽之积的和。


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如果我们运用一些变换,并且跟随这三个向量运动。网格线保持平行且等距分布的性质有一个重要的推论。变换后的向量v的位置,是-1与变换后的i帽之积,加上2与变换后的j帽之积。

换句话说,向量v是i帽和j帽的一个特定线性组合,那么变换之后的向量v也是变换后i帽和j帽的同样的线性组合。这意味着,你可以只根据变换后的i帽和j帽,就推断出v变换后的v。


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对于现在所示的变换,我们可以看出i帽落在坐标(1,-2)上,j帽落在x轴上,坐标为(3,0)。也就是说,-1乘以i帽加上2乘以j帽所代表的向量,会落在-1乘以向量(1,-2)加上2乘以向量(3,0)的位置上。

简单运算之后,你就能推断出向量v一定落在向量(5,2)上。


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因为这部分非常重要,所以希望你能够花一点时间仔细思考一下~

实际上,因为我给你展示了整个变换的样子,你完全可以直接读出向量v在变换后落在坐标(5,2)上。但是更炫酷的是,只要记录了变换后的i帽和j帽,我们就可以推断出任意向量在变换之后的位置,完全不必观察变换本身是什么样。


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一般的情况下,一个向量的坐标是(x,y),变换后的这个向量就是x乘以变换后的i帽(1,-2),加上y乘以变换后的j帽(3,0),简单运算之后你就知道它落在坐标(1x 3y,-2x 0y)上。


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运用这个公式,我给你任意一个向量,你就能告诉我它在变换后的位置。

以上的内容是在说,一个二维线性变换仅又四个数字完全确定——变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标。是不是很cool?

在之后的有趣的数学中,魔法君会为大家进一步讲解——矩阵,记得持续关注我们哦~

(部分图片来自网络)

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