1.三角形重心坐标为三个顶点坐标的平均值,即在△ABC中,A、B、C的坐标分别为(x₁,y ₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃),则三角形的重心坐标为
这个定理的证明在平面直角坐标系中是比较容易的。
D是BC中点,因此D的坐标可以计算出。
然后根据AO:DO=2:1,即可以计算出O点的坐标。
2.三角形重心到三个顶点距离的平方和最小
在△ABC中,P是三角形内一点,求证:当P是三角形重心时,PA² PB² PC² 取得最小值。
谈到距离平方之间关系的证明,初中数学较少遇见这类问题。使用高中解析几何中的两点间距离公式比较容易解决,因为两点间距离的平方表达式中已经去掉了根号。
设A、B、C的坐标分别为(x₁,y ₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃),设P的坐标为(x,y),由两点间距离公式知:
|PA|²=(x- x₁)² (y-y₁)²
|PB|²=(x- x₂)² (y-y₂)²
|PC|²=(x- x₃)² (y- y₃)²
因此|PA|² |PB|² |PC|²
=(x- x₁)² (y-y₁)² (x- x₂)² (y-y₂)² (x- x₃)² (y- y₃)²
= 3x² - 2x(x₁ x₂ x₃) (x₁² x₂² x₃²)
3y² -2y(y₁ y₂ y₃) (y₁² y₂² y₃²)
因为(x₁,y ₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)都是定值,且x和y独立,因此求这个式子的最大值,只需要分别求
3x²-2x(x₁ x₂ x₃)
3y²-2y(y₁ y₂ y₃)
这两个式子的最大值即可。
容易看出,这是两个分别以x和y作为参数的朝上开口的抛物线。
抛物线y=ax² bx c在x取对称轴坐标x=-b/2a时,取最小值。
即x=1/3 (x₁ x₂ x₃),y=1/3(y₁ y₂ y₃)时,|PA|² |PB|² |PC|²最小。
这个点(x,y)即是三角形重心的坐标。