一道2022年数学高考卷一题-有关三角运算的最小值

题目：已知三角形ABC的内角为A， B， C,其所对应的边长为a, b, c, 已知

cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)

求

的最小值。

这是2022的高考数学1卷的第18题的第二部分，第一部分跟角度有关，已经给出解答，参考本人头条文章。这里会利用第一部分的求解过程。

解：这道题的一个解题思路是利用三角学中的正切的半角公式， 即：

题中所给的等式cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)的右侧显然符合这个恒等式的形式， 但左侧不符合，因此需要做一个恒等变换，使其符合正切的半角公式。

因为cosA=sin(π/2-A)

且 1 sinA=1 cos(π/2-A)

所以

cosA/(1 sinA)

=sin(π/2-A)/(1 cos(π/2-A))

=tan(π/4-A/2)

已知的等式右侧

sin2B/(1 cos2B)

=tanB

因此

tan(π/4-A/2)=tanB

由于π/4-A/2>0, 所以A<π/2, 同时对应正切函数tanx， 其最小正周期为π

假如π/4-A/2 π=B， 则π π/4=B A/2<π π/4, 这是矛盾的，所以只有：

π/4-A/2=B

即A=π/2-2B

此外C=π-A-B=π/2 B

利用正弦定理：

利用三角的恒等变换公式，上面的式子做恒等变换，归为一个角B的三角函数：

设cos2B=x, 那么对应函数

求其导数等于0就可以求出使得y最小的x值， 因为：

当y’=0, 求出x=√2-1, （另一个被舍弃）

通过验算二阶导数，可知0<x<√2-1时， y”<0, x>√2-1时， y”>0,

因此x=cos2B=√2-1时，所求的式子有最小值。将cos2B=√2-1带入下列式子，

最后得出最小值为4√2-5

此题还有一种解法是利用余弦定理，同时利用正弦定理， 然后做三角变换，也可以求解。

首先：

其次根据前面的推出的角度关系可以得出A=3π/2-2C, 所以sinA=-cos2C

同时B=C-π/2, 所以sinB=-cosC, 带入上式变成都是C的函数：