标准曲线的绘制及计算(正弦曲线的可视化直观解释)
标准曲线的绘制及计算(正弦曲线的可视化直观解释)
2024-10-31 10:56:38  作者:梦中旧人  网址:https://m.xinb2b.cn/life/tiv271291.html


翻译小组成员介绍: Alex

Alex,英语爱好者,现工作于洛阳

文章: betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/

译者: Alex校对: 向海飞

正弦波的直观解释 Intuitive Understanding of Sine Waves

正弦波(正弦曲线)曾使我迷惑不解。我可以一边念叨“正弦,余弦,正切”,一边画着三角形,但它意义何在?

我一直误认为正弦源于其他形状。设想场景:

你:几何讲的是形状、线条之类...Alien:哦?老师能举一个线条的例子吗?你(左顾右盼):嗯……看到那块砖头了吗?线条就是砖头的一条边。Alien:所以,线条是形体的一部分。是吗?你:差不多可以这么理解。大多数图形中包含线条。但线条本身是一个基本概念。比如一束光,地图上的一条路径,甚至...Alien:砖头包含线条,线条来自砖头。砖头、砖头、砖头。

数学课几乎就是这个样子。“圆包含正弦,正弦来自圆。圆,圆,圆。”

哎呀!不对!圆只不过是正弦的一个例子。一句话:正弦是一种自然摆动,象征着平滑,它使得圆很“圆”,如同直线使得正方形很“方”。

让我们正确看待正弦形状本身以建立直觉,然后弄清楚这家伙和圆形等的关系!开始啦!

正弦和线条 Sine vs Lines

概念和例子是有区别的:线条是一个基本的概念,而正方形只它的一个例子。同理,正弦也是一个基本概念,并非圆的一部分。是不是开始柳暗花明。

我们通过下面的程序观察正弦。注意观察:

首先请点击开始键。好了,程序开始运行了!看到黄色小球正平稳地来回运动吗?那就是正弦!它是一种自然的摆动,如同弹簧的弹跳,钟摆的摆动,琴弦的振动...自然界中很多物体都可以做这种运动。现在请将“垂直”选项设置为“线性”。是不是变化很大 - 运动变得固定和机械,如同一场乒乓球比赛?


通过我们能看得更清

线性运动是恒速的:以固定的速度运动,到边界后立即转身。机器人舞蹈就是这种不自然的线性运动正弦运动是变速的:开始快,慢慢减速直至停止,然后又开始加速。液体波动就是这种迷人的平稳运动

遗憾的是,教科书并不用动画或者舞蹈来阐述正弦波,更喜欢把正弦波画在时间轴上(请将“水平”选项设置为“时间轴”)。


惊讶吧,这就是我们经常看到的正弦波示意图。从这张图里你能找到正弦运动的感觉吗?反正我是找不到。还是先观察正弦运动,然后记录它的运动轨迹吧。

绕不开的圆 The Unavoidable Circle

圆的确包含正弦,但是要从圆里看出正弦来,其难度不亚于从煎蛋饼里挑出鸡蛋。全混在一块儿啦!

不着急,慢慢来。我们回到上面的程序。重新设置为:

Vertical(垂直):none,

Horizontal(水平):sine*。


看黄色小球是不是开始水平摆动?那就是正弦运动。只不过我们做了些微调:正常情况下,正弦从中间点开始运动,迅速移动至最大点,然后返回中间点,周而复始。这次,黄色小球是从最大点开始,然后返回中间点。我们称从最大点开始的正弦为余弦。其实余弦只是正弦的一个不同版本(如同水平线是垂直线的不同版本。大家都是直线,只是方向不同罢了)。

万事俱备。是时候让两个正弦波同时动起来了:请将程序设置为:

vertical:sine,

horizontal:sine*...


见证奇迹的时刻到了,我们居然得到了一个圆!

水平向和垂直向的正弦运动组合得到圆周运动,多神奇!但是教科书从不这么解释。它们总是先画一个圆,然后试图从中分解出正弦。但是相对于“分解”,我更喜欢“组合”:先画水平正弦和垂直正弦,然后组合得到圆。

快速问答 Quick Q & A

我初学正弦时可没有这些认识:

正弦是1维的

正弦波在1个维度摆动。现实中,我们常常把正弦波画在时间轴上,而且正弦运动的物体有时确实是在向前移动的。这给我们造成了一个假象:正弦运动是2维的。但并非如此!在1个维度弹跳的弹簧做得就是完美的正弦运动。


1维正弦运动


来自Wikipedia, 不要被催眠了

两个正弦波组合成圆

圆和正方形均是基本单元(正弦和线条)的组合。圆由1个水平向和1个垂直向的1维正弦波关联组合而成。


但是圆并不是正弦波的源,同样正方形也不是线条的源。它们仅仅是例子。

▌正弦值的意义是什么?

正弦值位于-1和1之间。它开始于0,逐渐增大至1.0(最大值),然后减小至-1.0(最小值),最后返回到0。如果把正弦值看成一个百分数,那么正弦运动就如同急行军,从0开始加速到100%(全速前进)后来又从-100%(全线撤退)回到0。

▌正弦sin(x)的输入x指的又是什么?

虽然有些费解,但是也可以弄清楚。sin(x)是一个无限循环,而输入x就是我们在这个循环里的位置。

还是先看看直线吧:

假设,你沿着一个在正方形的边行走,走完每条边需要10秒钟。1秒后,你走完一条边的10%5秒后,你走完那条边的50%10秒后,你走完整条边

线性运动就是这样平淡无奇。现在看看正弦(注意“0到最大值”这个区间):


▌正弦波的递增区间

这次,我们沿着正弦波行走,从0(中间值)走到1.0(最大值)。此过程需时10秒。5秒后,我们走完行程的70%!正弦运动在起始点的速度很快,然后慢慢减速。前5秒内就完成了大半行程。剩下的5秒,我们将走完剩下的70%到100%这段行程。而且,最后98%到100%这段我们将整整走1秒钟。

尽管初始速度很快,但是正弦运动就是这样,它会温柔地减速,直至停在最大值,然后华丽转身。就是这份从容使得正弦波格外与众不同。

快速问答:线性循环的10%和正弦循环的10%,哪一个距离原点更远?答案是正弦。前面提到,正弦运动在原点的速度最快。当正弦运动完成循环的50%时,它的速度降低到线性运动的平均速度,之后正弦运动继续减速,直至停在最大点,然后返回。所以,在开始阶段正弦运动跑得比线性运动快。

可见,输入x是指完成循环的量。那么,循环又是什么呢?

这和应用背景密切相关。

在基础三角学中,'x'为角度,一个循环为360度。在高阶三角学中,'x'为弧度(弧度更自然),一个循环为单位圆一周(2pi)

问题又来了,循环依赖于圆!我们还能摆脱圆的纠缠吗?(未完待续)

  • 尊称多人可以用您们吗(尊称多人能用您们吗)
  • 2024-11-01尊称多人能用您们吗尊称多人不能使用您们,因为“您”表示的是尊称,要是对两个人或者两个人以上的人表示尊称,最好要说“您俩”、“您几位”等等,不能和“们”字连用,若是不多加注意的话,极有可能在人前闹出笑话中国文化源远流长,。
  • 胡歌和陈坤关系好吗(陈坤与胡歌比谁更有观众缘)
  • 2024-11-01陈坤与胡歌比谁更有观众缘正北方网2018-08-1616:16:33陈坤陈坤与倪妮首次合作的《天盛长歌》8月14日晚首度揭开面纱,其故事、表演和质感都毫无例外受到好评,瓜分了一些观众对《延禧攻略》的注意力但以往这类权谋戏往往。
  • 淘宝坑产和转化率哪个更重要(转化率提升的几个技巧)
  • 2024-11-01转化率提升的几个技巧转化率提升的几个技巧!你掌握了吗?关键词:转化率,流量适用行业:男装,家居,3C适用卖家规模:星级、钻级、蓝冠很多淘宝卖家上架了宝贝,标题也优化了,主图、详情页都OK了,也有基础单了,但是在后续做的时。
  • 干洗是什么意思
  • 2024-11-01干洗是什么意思是指用有机化学溶剂对衣物进行洗涤,包括去除油污或污渍的一种干进干出的洗涤方式由于在衣物洗涤过程中水不直接接触衣物,所以称之为干洗随着中国消费水平的大幅提高、民众服装档次的提高,各个年龄层次对干洗的要求。
  • 万华是谁演的 万华扮演者 盛夏晚晴天万华
  • 2024-11-01万华是谁演的 万华扮演者 盛夏晚晴天万华《盛夏晚晴天》中万华的饰演者:刘晓晔刘晓晔饰万华简介时尚杂志社主编,夏晚晴的领导和朋友,与夏晚阳展开感情戏配音张璐刘晓晔,出生于山东省青岛市,毕业于中央戏剧学院,中国内地女演员2000年,出演个人首部。
  • 旅交会怎么玩(旅交会来啦扫码预约)
  • 2024-11-01旅交会来啦扫码预约7月22日至24日,2022中国国际旅游交易会(以下简称“旅交会”)将在昆明滇池国际会展中心举行23日、24日为公众开放日市民实名预约后,就能免费入场观展市民用手机扫二维码,即可进行预约登记输入手机号。
  • 坐以待毙的意思(成语坐以待毙的意思)
  • 2024-11-01成语坐以待毙的意思坐以待毙,汉语成语,拼音是zuòyǐdàibì,意思是坐着等待死亡,形容在极端困难中,不积极想办法找出路成语出处:三国蜀·诸葛亮《后出师表》:“然不伐贼,王业亦亡,惟坐而待亡,孰与伐之”近义词:束手待。
  • 姐弟恋纯爱番(求助昔日的幼驯染)
  • 2024-11-01求助昔日的幼驯染在不久前发布的为了丢掉贞操,男主召唤魅魔,殊不知来的是个干物女一文中我给大家分享了一本有趣的轻小说,不知你是否喜欢呢?而今天我在意的一部小说正式发售了,那么我就给大家分享一下吧!这部轻小说名为《对机器。
  • 内地电影优秀男配角(电影山寨大王人物海报发布)
  • 2024-11-01电影山寨大王人物海报发布日前,改编自同名IP小说的古装荒诞喜剧《山寨大王》曝光人物海报,各主角以鬼马造型亮相,上演花式无厘头追逐大戏影片主要讲述了在明朝某年间,山寨大王马天在刘公公的授意下,行刺当朝皇帝未遂兵部尚书诸葛明府上。