全等三角形是中考常考内容,初学全等三角形,我们应该掌握哪些内容呢?三种模型、三大变换,你掌握了几种?
平移变换是我们接触最早的一种变换方式,在小学时就开始接触,应该比较熟悉。平移只改变图形的位置,不会改变图形的大小和形状,因此平移前后的两个图形全等。那么,两个图形的对应边相等,对应角也相等。如图,可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成的,故对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差证得。
例题1.如图,点E,C在线段BF上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,∠B=40°,∠D=70°,求∠ACF的度数.
分析,通过“AB∥DE”可知,∠B=∠DEF,再加上“AB=DE,BE=CF”,可通过SAS证明△ABC≌△DEF。全等三角形的对应角相等,得到∠A=∠D=70°,∠ACF是△ABC的外角,外角等于两个不相邻的内角和。
题目中没有明确已知平移,但是我们可以利用平移的思想来看待这道题目。
三大变换之旋转变换旋转变换是三大变换中模型最多的,考查的也比较难,比如常见的有手拉手模型、半角模型等,在后续的学习中会接触到。初学时,需要具备旋转的意识。
此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的,旋转后的图形与原图形之间存在两种情况:
(1)无重叠:两三角形有公共顶点,无重叠部分.
(2)有重叠:两个三角形含有一部分公共角,运用角的和差可得到等角.
例题2:已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图1,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;
(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,则BE=AF吗?请利用图2说明理由.
分析:第1小问是典型的等腰直角三角形中的模型,这个模型的应用也很广泛,需要了解整个模型的变化,由角的边、由边的角的证明方法类似。连接AD,根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出△BDE≌△ADF(ASA),再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF。
第2小问与第1小问的证明方法一样,连接AD,根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出△EDB≌△FDA(ASA),再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF。
如图,图形沿着某一条直线折叠,这条直线两边的部分能够完全重合,重合的顶点即为全等三角形的对应点。
例题3:如图,AB=AC,D,E分别为AC,AB的中点,连接BD,CE相交于点F。求证:∠B=∠C.
分析:证明∠B=∠C即证明△ADB≌△AEC,现在已经具备的条件有:AB=AC,∠BAD=∠CAE,还差一个条件,可通过D,E分别为AC,AB的中点得到。
对称变换和后面学习的轴对称、折叠等知识点都可以联系在一起。
三种模型之倍长中线模型中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
例题4:△ABC中,AB=10,AC=8,求中线AM的取值范围.
分析:典型的倍长中线法,可延长中线AM到点D,使得AM=MD,连接BD,构造出全等三角形,然后利用三角形三边之间的关系求出中线AM的取值范围。
证明过程中多数用到“同(等)角的余角相等”,从而可证得相等的角。
三垂直模型是一线三角模型中最基本的模型图,我们也称之为K型图,一般有内K型图与外K型图。
例题5:已知:如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E.
(1)求证:△BEC≌△CDA;
(2)当AD=3,BE=1时,求DE的长.
分析:本题考查的为内K型图,可以利用“8”字形证明两个角相等,也可以利用等角的余角证明两个角相等。
截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例题6:如图,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。求证:CD=AD BC.
分析:法一:在长线段CD上截取DF=DA,则△DAE≌△DFE,再只需证明△CEF≌△CEB,即可得到CF=CB。法二:延长DE交CB的延长线于M,根据平行线的性质和已知求出∠CDE=∠M,推出CD=CM,根据等腰三角形性质求出DE=EM,证△ADE≌△BME,求出AD=BM即可.
全等三角形中常见基本模型,三种模型、三大变换,你掌握了几种?