多元函数微积分学习(五分钟MIT公开课-多元微积分)
多元函数微积分学习(五分钟MIT公开课-多元微积分)
2024-11-22 04:32:58  作者:二个爱伱  网址:https://m.xinb2b.cn/life/kqe422673.html
简介

拉格朗日乘子(Lagrange Multipliers)

梯度是理解拉格朗日乘数法的关键。

关于拉格朗日乘数法

找到函数当x,y,z是不独立时f(x,y,z)的最小值或最大值,即有约束条件g(x,y,z)=c。

对于简单的约束条件,可以先把x,y,z的关系解出来,代入到原方程中。但是更加复杂的约束条件就不能这么解了。

先来看一个例子,找双曲线(hyperbola) xy=3 上离原点最近的点。等价的数学表达式是:


可以先画出 x^2 y^2 的等高线图,不同c的高线上每一个点 (x,y) 到原点的距离的平方都是常数c值。这个例子的几何意义就是在双曲线上找到距离原点最近的点。


主题无关,使用lambda符号代表拉格朗日乘子,很有可能是向拉格朗日致敬,因为都以L开头

现在要做的就是求解x,y和lambda三个未知量。


再加上限制条件g,三个方程三个未知数,答案就得到了:


首先x和y都等于0并不满足限制条件,所以是一组平凡解。非平凡解要求矩阵的行列式为0。


得到的值分别代入求证,找到最终解。

补充一点,拉格朗日乘法无法判断是最大值还是最小值,在三维空间中还有可能是鞍点

证明

一个函数在某种限制条件下的最小点或者最大点,这时,如果在g的等值面上移动,则y的值一定是增加或者减少的。而且f的一阶导数符号不会改变。

没有限制条件g的时候,最大值或者最小值的偏导数为0。在有限制条件的时候,偏导数只有在固定的方向上才是0,即指向g的等值面的延伸方向。

有限制条件的最小值或者最大值,在任何g=c的方向上,f的变化率是0。

从方向导数角度来看:

考虑任意一个与 g=c 相切的向量


都有:


所以:


由于:


所以:


对于梯度和等值面,参考《五分钟MIT公开课-多元微积分:梯度》。

如图,红色向量为u,是P在g=c上的切线,f是平面的情况


有最大值的情况:


有最小值的情况:


再来看一个例子:


函数图像是这样子的:


可行解都在限制条件g(x,y)上,如图所示为等高线图:


目标优化方程f(x,y)梯度向量:


限制条件g(x,y)梯度向量:


红圈处为最优解,梯度向量互相平行。

警告:如何知道是最小值还是最大值?

不能知道,而且不能用二次导来验证,只能带入值来求解。

复杂例子

当有时候函数或者约束条件复杂,拉格朗日法计算也很吃力,牢记拉格朗日法的本质,会化繁为简。

已知金字塔的体积,找一个表面积最小的金字塔。

底面三点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1(x3,y3),要求顶点P(x,y,h)



由于高是固定的,来看下金字塔的底面,u1,u2,u3分别是到a1,a2,a3三条边的距离:


某一侧边的高是:


侧面的总面积 f(u1,u2,u3):


限制条件底面面积 g(u1,u2,u3):


使用拉格朗日乘数法方程:


也就是


顶点距离三条底边距离相等的时候,总面积最小。

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五分钟MIT公开课-多元微积分:向量,行列式和平面

五分钟MIT公开课-多元微积分:梯度

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