在计数系统形成的同时，几大古代文明都发展出了自己的一套算术运算的规则与方法，有些繁复复杂，有些简单易行。

古巴比伦

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古巴比伦采用的是60进制的进位计数法。在他们的计数制中，代表1和10的记号是基本记号；从1到59这些数都是用几个或者更多的一些基本记号结合而成。因此，他们对这种数进行加减法就是加上或去掉其中的相应记号。例如用一表示10，用丨表示1，则25可以表示为一一丨丨丨丨丨，13可以表示为一丨丨丨；25 13的结果就可以表示为一一一丨丨丨丨丨丨丨丨，即38；25-13的结果就可以表示为一丨丨，即12。

他们也做整数的乘法运算。实际上，他们只是将乘法看作是加法的简便记法，实质上做的还是加法运算。例如，计算25×3相当于计算25 25 25。

他们也做整数的除法运算。由于除以一个整数n相当于乘以这个整数的倒数1/n，为此古巴比伦人专门制作了将1/n表示成六十进制小数的倒数表。倒数表包含的都是有限位的六十进制小数，有些小数是精确的，有些则是近似的。古巴比伦人完全依靠倒数表来做整数除法运算。

此外，古巴比伦人也有表示平方根、立方根的数表。当方根是整数时，数表给出的是精确值；其他情形，数表给出的只是近似值。

古埃及

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古埃及的计数系统采用的是以10为底的非进位制表示法。他们创造出了表示数1、10、100、1000、10000以及更大单位的记号，介乎其间的各数则由这些基本记号组合而成，书写方式则是从右往左。他们做加减法时，通过添上或划掉其中相应的记号，来得到最后的结果。例如，若丨表示1，＃表示10，＆表示100，数354就写成丨丨丨丨＃＃＃＃＃＆＆＆；计算354 23，就在354的写法中再添上两个#、三个丨，最后的结果就写成丨丨丨丨丨丨丨＃＃＃＃＃＃＃&&&，即377。

古埃及人做乘除法采用的是迭加算法，即将乘除法化成迭加步骤来做。

例如，计算12×12时，他们按如下步骤进行:

1 12

2 24

4 48

8 96

每一行由上一行取二倍得出。从上述步骤可以得到4×12=48和8×12=96，然后将48和96相加，就得到了12×12的结果。

再如，计算19÷8时，古埃及人是按如下步骤进行的:

1 8

2 16

1/2 4

1/4 2

1/8 1

从上述步骤可以得到2×8=16，1/4×8=2，1/8×8=1，然后把2 1/4 1/8就得到了19÷8的结果。

古埃及人采用一种很复杂的算法进行分数的四则运算。他们先将算式中的每个分数都拆成一些单位分数(分子为1的分数)之和，这些单位分数的分母各不相同，然后再进行计算。为此，他们专门制作了一张将分数a/b表示成单位分数之和的数表，通过查表来获得拆分结果。例如，计算2/3 2/5时，他们先将2/3和2/5分别表示成分母各不相同的单位分数之和，2/3=1/3 1/4 1/12，2/5=1/5 1/6 1/30，然后将这些单位分数相加，得到分母各不相同的单位分数之和，即2/3 2/5=1/3 1/4 1/5 1/6 1/12 1/30。最后再通过查表得到16/15，即

1/3 1/4 1/5 1/6 1/12 1/30=16/15。

古印度

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成书于公元499年的《圣使集》研究了两个无理数(二次根式)相加的问题，并得到了正确的公式。

古印度数学家梵藏约于公元628年写成了《梵明满悉檀多》，其中对许多数学问题进行了深入探讨。梵藏引进了负数的概念，提出了负数的运算方法，并对零作为一个数已有所认识。

约公元九世纪时，古印度数学家大雄在其著作《计算精华》中提出，零乘以任何一个数都等于零。大雄还认识到，一个分数除另外一个分数，等于把这个分数的分子与分母颠倒相乘。

公元12世纪，古印度数学家作明对零进行了进一步的研究，正确地指出一个数除以零为无限大。此外，作明还明确指出一个正数有两个平方根: 一正一负；负数的平方根没有意义。

古希腊

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古希腊的算术运算同时受到古巴比伦与古埃及的影响，即古希腊人沿用了古巴比伦人和古埃及人在进行算术运算时的一些做法。

古希腊的计数系统采用的是以10为底的非进位制表示法。古希腊人用27个希腊字母分别表示1~9、10~90、100~900这27个数，然后用这27个字母进行组合表示1~999这999个数。

他们做整数和分数的一般算术运算时，沿用了古埃及的做法；他们做天文计算时，则采用了古巴比伦人的六十进制分数。

他们也考虑过开平方运算。当平方根不是整数时，他们用分数来近似表示平方根。例如，他们用7/5表示√2的近似值。

中国

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最晚在春秋末年，中国人已经掌握了完备的十进位置值制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具。那时的人已谙熟九九乘法表、整数的四则运算，并使用了分数。

成书于公元一世纪左右的《九章算术》是中国古代最重要的数学经典，它是集先秦至西汉数学知识之大成。

《九章算术》方田章系统地讲述了分数的四则运算法则，包括通分、约分、化带分数为假分数等，其步骤与方法大体与现代相同。

《九章算术》少广章给出了完整的开平方、开立方算法，与现代的笔算开平方、开立方计算步骤基本一致，所不同的是古代用算筹进行演算。当方根是无理数时，采用十进分数逼近无理根的近似值。

《九章算术》方程章给出了正负数加减运算法则。

最迟于13世纪末，中国对有理数的四则运算法则已经做了全面的总结。

被誉为中国的第五大发明、最古老的计算机的珠算盘起源于东汉，后经宋元时期数学家杨辉、朱世杰等人对捷算法的改进、总结，引起了对珠算盘与珠算术的改进，导致了中国古代计算工具与计算技术的变革。此后，珠算一直沿用至今。

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计数系统、计算方法与计算工具共同决定了进行算术运算的繁简与效率。

参考资料:

《古今数学思想》M·克莱因 上海科学技术出版社

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