矩阵的初等变换有这样一个性质：

设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵。

这个性质的内容其实描述的是m阶（或n阶）初等矩阵“教”m×n矩阵“做事”的过程。

为了说明这个事情，首先回忆一下单位矩阵、初等矩阵和初等变换的概念。

单位矩阵：是指主对角线上的元素均是1，其余元素都是0的方阵。m行（列数与行数相等）的单位矩阵，就叫做m阶单位矩阵。

三种初等行（列）变换：

1.对换两行（或者两列）；

2.以数k≠0乘某一行（或某一列）的全部元素；

3.把某一行（或某一列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去。

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

下面分两种情况来说明这个问题。

第一种情况：

A是一个m×n矩阵（m行n列），B是由m阶单位矩阵经过一次初等行变换得到的，在A的左边乘以初等矩阵B，相当于对A实施一次初等行变换。这种变换的过程是完全仿照m阶单位矩阵变化为矩阵B的过程来的。

如果B是由m阶单位矩阵对调第i行和第j行得到的，那么矩阵C=BA其实就是把矩阵A的第i行和第j行对调。例子：

如果B是由m阶单位矩阵第i行乘k得到的，那么矩阵C=BA其实就是把矩阵A的第i行乘k。例子：

如果B是由m阶单位矩阵第i行的元素乘k加到第j行相应元素上得到的，那么矩阵C=BA其实就是把矩阵A的第i行的元素乘k加到第j行相应元素上。例子：

对于第一种情况，为了方便记忆，我们可以假想下述一个情景对话。B对C（C=BA）说：“我是由m阶单位矩阵经过一次初等行变换得到的，那你就在矩阵A基础上做一次相同的初等行变换就能得到你自己了。”B就是这样教C做事的。

第二种情况：

A是一个m×n矩阵（m行n列），B是由n阶单位矩阵经过一次初等列变换得到的，在A的右边乘以初等矩阵B，相当于对A实施一次初等列变换。这种变换的过程是完全仿照n阶单位矩阵变化为矩阵B的过程来的。

如果B是由n阶单位矩阵对调第i列和第j列得到的，那么矩阵C=AB其实就是把矩阵A的第i列和第j列对调。例子：

如果B是由n阶单位矩阵第i列乘k得到的，那么矩阵C=AB其实就是把矩阵A的第i列乘k。例子：

如果B是由n阶单位矩阵第i列的元素乘k加到第j列相应元素上得到的，那么矩阵C=AB其实就是把矩阵A的第i列的元素乘k加到第j列相应元素上。例子：

对于第二种情况，为了方便记忆，我们可以假想下述一个情景对话。B对C（C=AB）说：“我是由n阶单位矩阵经过一次初等列变换得到的，那你就在矩阵A基础上做一次相同的初等列变换就能得到你自己了。”B就是这样教C做事的。