这是粉丝提问的一道中考数学真题。老黄做出指导后,担心他听不懂,就自己动用解了解,顺便分享给大家。这是一道关于三角尺摆放的问题,与旋转和平移有关。
将一副三角尺按图1摆放,等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB,与AC相交于点G,BC=2√3cm.
(1)求GC的长;
(2)如图2, 将△DEF绕点D顺时针旋转,使直角边DF经过点C,另一直角边DE与AC相交于点H,分别过H, C作AB的垂线,垂足分别为M, N,通过观察,猜想MD与ND的数量关系,并验证你的猜想.
(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DB方向平移得到△D’E’F’,当D’E’恰好经过(1)中的点G时,请直接写出DD’的长度。
分析:(1)纯含30度角的直角三角形的三边关系的应用,或者可以结合60度和30度的三角函数。先求AC,AB,再由AD求AG,然后用AC减去AG就是答案了。
(2)一开始老黄想利用一个很少人知道的定理来解,即“一线三直角中,若三个直角三角形都相似,则中间的直角顶点平分这条线段。”后来老黄觉得,直接运用这个定理,可能会被误判,如果利用这个定理组织过程,可能会比较麻烦。所以老黄改用“等腰三角形底边三线合一”的定理来解。
注意图2中,三角形BCD易证为正三角形,而三角形ADH则易证为等腰三角形。所以M是AD的中点,N是BD的中点,又AD=BD,所以MD=ND。
(3)直接可以发现,DD'=BD. 可以证明D'E'平行于BG,则D'E'经过点G时,D'和B重合。
以上分析过程,即为思考过程,这个思考过程越快越好。老黄已经老态龙钟,还想了不少时间,聪明的年轻人们,可要争取在最短时间内完成才行哦。下面组织解题过程:
解:(1)AC=BC·tan60⁰=6cm;
AB=2BC; AD=AB/2=BC=2√3cm.
AG=AD/cos30⁰=4cm.
GC=AC-AG=2cm.
(2)猜想:MD=ND.
由(1)知BD=AB/2=BC, ∴△BCD是正三角形.
CN⊥BD, ∴ND=BD/2,
∠ADH=180⁰-∠EDF-∠BDC=30⁰=∠DAH,
∴△AHD是等腰三角形.
HM⊥AD, ∴MD=AD/2,
又AD=BD,∴MD=ND.
(3)DD’=2√3cm. 理由如下:
由(2)知∠ADE=30⁰=∠AD’E’,
DG垂直平分AB,∴∠BGD=∠AGD=60⁰,
∴∠GBD=90⁰-∠BGD=30⁰=∠AD’E’,
∴D’E’//BG,
∴当D’E’经过点G时, D’B重合,
∴DD’=DB=BC=2√3cm.
解题过程的组织,也是一门艺术,一定要保证整可能的简洁,不然一是花时间太多,二是卷子写得太乱,都是不可取的。