一道初中几何题-求两个等边三角形的面积之比
等边三角形ABC内接另一个等边三角形DEF，并且有DE垂直于BC。三角形DEF的面积与三角形ABC面积比是多少？
解：可以证明等边三角形DEF周围的三个三角形是全等的。
这里简单证明三角形DEC全等于三角EFA。这是因为：
∠EDC=90°, ∠ECD=60°, 那么∠DEC=30°
又因为等边三角形DEF的∠DEF=60°，
因此∠FEC=∠DEF ∠DEC=60° 30°=90°
所以FE垂直于AC，这样这两个三角形DEC和三角形EFA的对应角都相等，
而有直角边EF=DE， 根据角边角定理，这两个三角形全等，同理可证第三个三角形DFB也与它们全等。
因此DC=EA， 若设AC=a, ED=b,
在三角形DBC中，根据30°-60°-90°直角三角形的关系有：
DC=(√3b)/3 , EC=(2√3b)/3,
因而a=AC=EC EA
=EC DC
=(√3b)/3 (2√3b)/3
=√3b,
由于三角形DEF相似于三角形ABC，其其面积之比为相似比的平方，而相似比为：
b/a=1/√3
所以面积之比为1/3
